양의 정수로 이루어진 수열 $a_1,a_2,a_3,\ldots$이 식 $a_{i+2}=a_{i+1}+a_i$ ($i\ge 1$)을 항상 만족할 때, 모든 양의 정수 $n$에 대하여 다음의 값이 양의 정수임을 보여라. \[ \frac{a_1+a_2+\cdots+a_{4n-2}}{a_{2n+1}}\]