시험일시 : 2013년 11월 10일(일) 오전 10:00 ~ 12:30 / 오후 2:00 ~ 4:30
오전 오후 각각 4문제.
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다음 세 수의 크기를 비교하여라. \[\sqrt[3]{\frac{25}{3}}, \sqrt[3]{\frac{1148}{135}}, \frac{\sqrt[3]{25}}{3}+\sqrt[3]{\frac{6}{5}}\]
원 $O$에 내접하는 오각형 $ABCDE$가 다음 조건을 모두 만족한다.
(i) $\angle CAD \gt \angle CDE$
(ii) $AB=BC$, $AE=DE$
(iii) 점 $E$에서 직선 $DE$에 접하고 점 $A$를 지나는 원이 선분 $EC$와 점 $F$에서 만나고 직선
$BF$와는 점 $G$($\neq F$)에서 만난다.
직선 $DG$와 원 $O$의 교점을 $H$($\neq D$)라 할 때, 점 $E$에서의 원 $O$의 접선이 직선 $HA$와 직교함을 보여라.
양의 정수로 이루어진 수열 $a_1,a_2,a_3,\ldots$이 식 $a_{i+2}=a_{i+1}+a_i$ ($i\ge 1$)을 항상 만족할 때, 모든 양의 정수 $n$에 대하여 다음의 값이 양의 정수임을 보여라. \[ \frac{a_1+a_2+\cdots+a_{4n-2}}{a_{2n+1}}\]
다음 조건을 만족하는 소수 $p$가 존재함을 보여라.
$2^n-1$이 $p$의 배수가 되는 양의 정수 $n$ 중 가장 작은 것은 $3^{2013}$이다.
세 ㄴ의 길이가 모두 다른 예각삼각형 $ABC$의 변 $AB$의 중점을 $D$라 하고, 점 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 $E$, 점 $B$에서 변 $CA$에 내린 수선의 발을 $F$라 하자. 삼각형 $DEF$의 외심을 $O$라 할 때, 선분 $BE$위의 점 $J$가 $\angle ODC=\angle EAJ$를 만족한다. 두 선분 $AJ$와 $DC$의 교점이 삼각형 $BDE$의 외접원 위에 있음을 보여라.
다음 조건을 만족하는 함수 $f:\mathbb N\to\mathbb N$을 모두 구하여라.
임의의 양의 정수 $m$, $n$에 대하여 $f(mn)=\operatorname{lcm}(m,n)\cdot \gcd(f(m),f(n))$이다.
(단, $\mathbb N$은 양의 정수 전체의 집합이고 $\operatorname{lcm}(m,n)$과 $\gcd(m,n)$은 각각 $m$, $n$의 최소공배수와 최대공약수이다.)
함수 $f:\mathbb N\to\mathbb N$이 모든 $n\in \mathbb N$에 대하여 다음 두 조건
(1) $f(n+1)\gt f(n)$,
(2) $f(f(n))=2n+2$
를 만족할 때, $f(2013)$을 구하여라. (단, $\mathbb N$은 양의 정수 전체의 집합이다.)
정$2013$각형의 모든 대각선들을 그었을 때, 정$2013$각형의 내부는 여러 가지 다각형 모양의 영역들로 나뉘어진다. 이 영역들 중 $2013$각형은 오직 하나 존재함을 보여라.