2017 국제수학올림피아드 4번문제

원 $\Omega$ 위에 두 점 $R$, $S$를 $RS$가 지름이 되지 않도록 잡자. 점 $R$에서의 $\Omega$의 접선을 $\ell$이라 하자. 점 $T$를 점 $S$가 선분 $RT$의 중점이 되도록 하는 점이라 하자. 점 $J$는 원 $\Omega$의 호 $\overparen{RS}$ 중 작은 호 위에 있고, 삼각형 $JST$의 외접원 $\Gamma$가 $\ell$과 서로 다른 두 점에서 만난다. $\Gamma$와 $\ell$의 두 교점 중 $R$에 더 가까운 점을 $A$라 하자. 직선 $AJ$가 $\Omega$와 점 $K$에서 다시 만난다. 직선 $KT$가 $\Gamma$에 접함을 보여라.

1997 제11회 한국수학올림피아드 고등부 5번문제

임의의 삼각형 $ABC$의 꼭지점 $A$, $B$, $C$에 대한 대변의 길이를 각각 $a$, $b$, $c$라 하고 꼭지점 $A$, $B$, $C$에서 각각의 대변에 내린 중선의 길이를 각각 $x$, $y$, $z$라 하자. 삼각형 $ABC$의 넓이를 $T$라 할때, \[ \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge \sqrt{\sqrt{3}T}\]임을 증명하고 등호가 성립하는 경우를 찾아라.

1999 아시아태평양수학올림피아드 3번문제

두 원 $\Gamma_1$과 $\Gamma_2$가 두 점 $P$와 $Q$에서 교차한다. $P$와 가까운 쪽에서 이 두 원의 공통접선을 그을 때 이 접선이 두 원 $\Gamma_1$, $\Gamma_2$와 각각 점 $A$, $B$에서 접한다. $P$에서의 $\Gamma_1$의 접선이 $\Gamma_2$와 점 $C$에서 만난다. ($C$는 $P$와 같지 않다.) $AP$의 연장선과 $BC$의 교점을 $R$이라 하자. 삼각형 $PQR$의 외접원이 $BP$와 $BR$에 모두 접함을 보여라.