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점 $R$에서 외접하는 두 원 $\Gamma_1$, $\Gamma_2$가 있다. 점 $O_1$과 점 $O_2$를 각각 원 $\Gamma_1$, $\Gamma_2$의 중심이라 하자. 원 $\Gamma_2$과 점 $P$에서 접하고 $O_1$을 지나는 직선을 $\ell_1$이라 하자. 마찬가지로 원 $\Gamma_1$과 점$Q$에서 접하고 $O_2$를 지나는 직선을 $\ell_2$라 하자. 직선 $\ell_1$과 $\ell_2$의 교점을 $K$라 하자. 만일 $KP=KQ$라면 삼각형 $PQR$이 정삼각형임을 증명하라.
(2013년 2월 3일, 출처)

다음 식을 만족하는 모든 양의 정수 $m$, $n$과 소수 $p\ge 5$를 구하여라.
\[ m (4m^2+m+12)=3(p^n-1).\]
(2013년 2월 3일, 출처)

양의 정수 $a\ge b\ge c\ge d$가 주어져있다. 이때 방정식 $x^4-ax^3-bx^2-cx-d=0$에는 정수해가 없음을 증명하라.
(2013년 2월 3일, 출처)

$1$보다 큰 정수 $n$에 대해, 집합 $\{1,2,\ldots,n\}$의 공집합 아닌 부분집합 중 원소의 평균이 정수가 되는 것의 수를 $T_n$이라 하자. 이때 $T_n-n$은 항상 짝수임을 보여라.
(2013년 2월 3일, 출처, Putnam 2002년 A3 문제와 동일)

직각삼각형 $ABC$의 내심을 $O$, 무게중심을 $G$, 수심을 $H$라 하자. 변 $BC$, 변 $CA$위에 각각 점 $D$, $E$를 잡되 $OD$와 $BC$가 수직으로 만나고 $HE$와 $CA$가 수직으로 만나게 하였다고 한다. 변 $AB$의 중점을 $F$라 하자. 삼각형 $ODC$, $HEA$, $GFB$의 넓이가 모두 같다면, 가능한 $\angle C$의 값을 모두 구하여라.
(2013년 2월 3일, 출처)

여섯 개의 양의 실수 $a,b,c,x,y,z$가 $x+y+z=a+b+c$, $xyz=abc$, $a\le x<y<z\le c$와 $a<b<c$를 만족한다고 한다. 이때 $a=x$, $b=y$, $c=z$임을 보여라.
(2013년 2월 3일, 출처)