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삼각형 $ABC$의 변 $BC$를 $C$ 방향으로 연장한 반직선 위에 $CD=BC$가 되게 점 $D$를 잡았다. 변 $CA$를 $A$ 방향으로 연장한 반직선 위에 $AE=2CA$가 되게 점 $E$를 잡았다.
이때 $AD=BE$라면 삼각형 $ABC$가 직각삼각형임을 증명하라.
(2013년 4월 10일 룩셈부르크, 4시간 30분, 출처)

가로 $m$칸 세로 $m$칸 바둑판 모양의 정사각형을 직사각형 $5$개로 잘 나누면 직사각형의 변의 길이로 $1$, $2$, $3$, $\ldots$, $10$이 모두 나타난다고 한다. 가능한 모든 양의 정수 $m$을 구하여라.
(2013년 4월 10일 룩셈부르크, 4시간 30분, 출처)

양의 정수 $n$이 있다.
(a) 서로 다른 $6n$개의 양의 정수의 집합 $S$의 임의의 두 원소의 최소공배수가 $32n^2$ 이하가 되는 집합 $S$가 존재함을 증명하라.
(b) $6n$개의 서로 다른 양의 정수의 집합 $T$에는 항상 최소공배수가 $9n^2$보다 큰 서로 다른 두 원소가 존재함을 증명하라.
(2013년 4월 10일 룩셈부르크, 4시간 30분, 출처)

연속한 $3$개의 정수 $n$에 대해 다항식 \[ P(n)=\frac{n^5+a}{b}\]가 모두 정수값이 되게 하는 양의 정수 $a$, $b$를 모두 구하여라.
(2013년 4월 11일 룩셈부르크, 4시간 30분, 출처)

삼각형 $ABC$의 외접원을 $\Omega$라 하자. 변 $AC$와 변 $BC$에 접하고 원 $\Omega$와 점 $P$에서 내접하는 원을 $\omega$라 하자. 변 $AB$와 평행하고 삼각형 $ABC$의 내부를 지나는 직선이 원 $\omega$와 점 $Q$에서 접한다고 한다.
이때 $\angle ACP=\angle QCB$임을 증명하라.
(2013년 4월 11일 룩셈부르크, 4시간 30분, 출처)

옛날 옛날에 백설공주와 일곱 난쟁이가 숲속 집에 살고 있었다. 16일동안 매일 난쟁이들은 다이아몬드 광산에서 일을 하거나 산딸기를 따러 숲으로 갔다. 단, 어느 난쟁이도 두 가지 종류의 일을 하루에 하지 않았다고 한다. 임의로 연속하지 않을 수도 있는 두 날짜를 비교해보니 적어도 3명 이상의 난쟁이가 같은 일을 했다고 한다. 게다가 첫날에는 모든 난쟁이가 다이아몬드 광산에서 일을 했다고 한다.
이때 16일 중 어떤 날은 모든 일곱 난쟁이가 산딸기를 따러 갔음을 증명하라.
(2013년 4월 11일 룩셈부르크, 4시간 30분, 출처)