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변들의 길이가 연속한 자연수들이고, 어느 한 각이 또다른 한 각의 두 배가 되는 삼각형은 딱 하나 존재함을 증명하여라.

십진법으로 전개하여 자릿수들을 모두 곱한 것이 $x^2-10x-22$ 가 되는 자연수 $x$를 모두 찾아라.

미지수 $x_1, x_2, …, x_n$에 대한 다음 연립방정식을 생각하자. \begin{align*} ax_1^2 + bx_1 + c &= x_2 \\ ax_2^2 + bx_2 + c &= x_3 \\ &\cdots \\ ax_{n-1}^2 + bx_{n-1} + c &= x_n \\ ax_n^2 + bx_n + c &= x_1 \end{align*} 단, $a$, $b$, $c$는 실수이고 $a \neq 0$ 이다. $\Delta = (b-1)^2-4ac$ 라 할 때, 다음을 증명하여라.
(a) $\Delta<0$ 이면 해가 없다. (b) $\Delta=0$ 이면 해는 정확히 하나이다. (c) $\Delta>0$ 이면 해는 하나보다 많다

모든 사면체에서, 어느 한 꼭짓점은 그 점에 이웃한 세 모서리의 길이가 삼각형의 세 변의 길이가 될 수 있음을 증명하여라.

$f$는 모든 실수 $x$에 대해 정의되고 실수값을 갖는 함수로, 어떤 양의 상수 $a$와 모든 $x$에 대해 다음 등식을 만족한다. \[ f(x+a) = \frac12 + \sqrt{f(x)-[f(x)]^2} \]
(a) $f$가 주기함수임을 증명하여라(즉, 어떤 양수 $b$가 존재하여 모든 $x$에 대해 $f(x+b)=f(x)$ 가 성립한다).
(b) $a=1$ 일 때, 주어진 조건을 만족하면서 상수함수는 아닌 $f$의 예를 들어라.

모든 자연수 $n$에 대해, 다음 합을 계산하여라. \[ \sum_{k=0}^\infty \left[ \frac{n+2^k}{2^{k+1}} \right] = \left[ \frac{n+1}2 \right] + \left[ \frac{n+2}4 \right] + \cdots + \left[ \frac{n+2^k}{2^{k+1}} \right] + \cdots \] (단, $[x]$는 $x$를 넘지 않는 최대의 정수를 나타낸다.)