(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)

독일 브레멘

한국대표팀: 4위

• 단장: 김명환 (서울대)
• 부단장: 오병권 (서울대), 금종해 (고등과학원), 송용진 (인하대), 엄상일 (KAIST)
• 대표학생: 강태구 (서울과고1, 금메달), 류영욱 (서울과고1, 은메달), 안태주 (서울과고1, 은메달), 임선규 (경기과고2, 은메달), 이상훈 (서울과고1, 금메달), 황현섭 (세종과고1, 금메달)

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$n$은 자연수이고 $k$는 $2$이상의 자연수이다. $a_1, a_2, \ldots, a_k \in \{1,2,\ldots, n\}$은 서로 다른 정수이고, $n$은 $a_i(a_{i+1}-1)$의 약수이다. $n$은 $a_k(a_1-1)$의 약수가 아님을 보여라.

$ABC$는 $O$를 외심으로 갖는 삼각형이다. $P$와 $Q$는 선분 $CA$, $AB$의 내부의 점이다. 그리고 $K$, $L$, $M$은 각각 $BP$, $CQ$, $PQ$의 중점이다. $K$, $L$, $M$을 지나는 원을 $T$라 하자. $PQ$가 $T$에 접할 때, $OP=OQ$임을 보여라.

양의 정수들로 이루어진 수열 $s_1,s_2,s_3,\ldots$는 단조증가수열이다.
이 수열의 부분수열 \[ (s_{s_i})=s_{s_1}, s_{s_2}, s_{s_3}, \ldots,\quad (s_{s_i+1})= s_{s_1+1},s_{s_2+1},s_{s_3+1},\ldots\]는 모두 등차수열을 이룬다. 이 때, $s_1,s_2,s_3,\ldots$도 등차수열을 형성함을 보여라.

$ABC$는 $AB=AC$인 이등변삼각형이다. 각 $CAB$의 이등분선과 $BC$의 교점을 $D$, 각 $ABC$의 이등분선과 $CA$의 교점을 $E$라 하자. $K$는 삼각형 $ADC$의 내심이고, $\angle BEK=45^{\circ}$이다. $\angle CAB$의 가능한 값을 모두 구하여라.

임의의 자연수 $a$, $b$에 대하여, $a$, $f(b)$, $f(b+f(a)-1)$가 삼각형의 세 변을 이루도록 하는 함수 $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$를 모두 구하여라.

$a_1, a_2 , \ldots, a_n$은 서로 다른 자연수이고, $M$은 $s=a_1+a_2+\cdots+a_n$을 포함하지 않는 $n-1$개의 자연수로 이루어진 집합이다. $a_1,a_2,\ldots,a_n$을 재배열하여 모든 $k=1,2,\ldots,n$에 대해, $\sum_{i=1}^k a_i \not \in M$이 되게 할 수 있음을 보여라.