(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)

스페인 마드리드

한국대표팀: 4위

• 단장: 이승훈 (영동대)
• 부단장: 오병권 (세종대), 김명환 (서울대), 송용진 (인하대), 정재영 (군산대)
• 대표학생: 남경식 (서울과고3, 금메달), 오규진 (한국과학영재학교2, 금메달), 이수홍 (중앙고2, 금메달), 임동규 (경기과고2, 금메달), 임선규 (경기과고1, 은메달), 한만웅 (민족사관고3, 은메달)

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$H$는 예각삼각형 $ABC$의 수심이다. $BC$의 중점을 중심으로 갖고, $H$를 지나는 원을 $T_A$라 하자. $T_A$와 $BC$의 교점을 $A_1$, $A_2$라 하자. 비슷하게 원 $T_B$, $T_C$를 생각하고, $T_B$와 $CA$의 교점을 $B_1$, $B_2$, $T_C$와 $AB$의 교점을 $C_1$, $C_2$라 하자. $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$가 한 원위에 있음을 보여라.

(a) $x$, $y$, $z$는 모두 1이 아니며 곱이 1인 세 실수이다. 다음 부등식을 증명하여라.\[ \frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2} \ge 1.\]
(b) 문제 (a)에서 등호가 성립하는 유리수의 세 쌍 $(x,y,z)$가 무한히 많음을 보여라.

$n^2+1$이 $2n+\sqrt{2n}$보다 큰 소수를 약수로 갖는 양의 정수 $n$이 무한히 많음을 보여라.

다음을 만족하는 함수 $f:(0,\infty) \to (0, \infty)$를 모두 구하여라.

$wx=yz$를 만족하는 모든 양의 실수 $w,x,y,z$에 대하여, \[
\frac{(f(w))^2+(f(x))^2}{f(y^2)+f(z^2)} =\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}.\]

$k \ge n$는 $k-n$이 짝수인 두 자연수이다. $2n$개의 램프에 $1,2,\ldots, 2n$의 숫자가 붙어 있다. 그리고 각각의 램프에는 on/off 스위치가 부착되어 있고, 처음에는 모두 꺼져 있는 상태이다. 하나의 램프를 골라 스위치의 상태를 바꾸는 것을 step이라 하자. $N$은 $k$번의 step으로 $1$번부터 $n$번까지의 램프는 켜지고, $(n+1)$번부터 $2n$번까지의 램프는 모두 꺼지도록 하는 방법의 경우의 수이다. 그리고 $M$은 $k$번의 step으로 $1$번부터 $n$번까지의 램프는 켜지고, $(n+1)$번부터 $2n$번까지의 램프는 모두 꺼지도록 하는데, $(n+1)$번부터 $2n$번까지의 램프는 한 번도 켜지지 않도록 하는 방법의 수이다. $\frac{N}{M}$의 값을 구하여라.

$ABCD$는 $BA \neq BC$인 볼록사각형이다. 삼각형 $ABC$와 $ADC$의 내접원을 각각 $k_1$, $k_2$라 하자. 반직선 $BA$에서 $BA$를 제외한 부분과 반직선 $BC$에서 $BC$를 제외한 부분에 접하면서 직선 $AD$, $CD$에 접하는 원 $w$가 존재한다고 할 때, $w_1$, $w_2$의 공통외접선은 $w$와 만남을 증명하여라.