2017년 2월 11일 토요일. 4시간동안 5문제. 출처
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양의 정수 $a,b,c$에 대해, $a$와 $b$의 최소공배수와, $a+c$와 $b+c$의 최소공배수는 같지 않음을 보여라.
$N$을 양의 정수라 하자. 양의 정수 $a_1,a_2,\ldots,a_N$이 주어져 있어, 어떤 것도 $2^{N+1}$의 배수가 아니라고 한다. $N+1$ 이상의 정수 $n$에 대해, 다음과 같은 규칙으로 $a_n$을 정한다고 한다:
– $k=1,2,\ldots,n-1$ 중에서 $a_k$를 $2^n$으로 나눴을 때의 나머지가 가장 작은 $k$를 선택해 $a_n=2a_k$로 잡는다. 단, 그런 $k$가 여러 개 있을 경우에는 그 중 가장 큰 $k$를 택한다.
이 때, $n \geq M$이면 항상 $a_n=a_M$이 성립하는 양의 정수 $M$이 존재함을 보여라.
예각삼각형 $ABC$아 있어 그 외심이 $O$로 주어져 있다. 세 점 $A,B,C$에서 대변에 내린 수선의 발을 각각 $D,E,F$라 하고, 변 $BC$의 중점을 $M$이라 하자. 직선 $AD$와 직선 $EF$의 교점을 $X$, 직선 $AO$와 직선 $BC$의 교점을 $Y$라 하고, 선분 $XY$의 중점을 $Z$라 한다. 이 때 세 점 $A,Z,M$이 한 직선 위에 있음을 보여라.
$n$은 3 이상의 정수로 주어져 있다. $n$명의 사람이 있어, 그 중 3명 이상이 참가하는 집회가 매일 열린다고 한다. 각각의 집회에 대해, 참가한 사람들 모두가 서로와 정확히 한 번 악수를 한다고 한다. $n$일째의 집회가 끝나고 난 후, 어떤 두 명을 뽑아도 모든 집회에 걸쳐 정확히 한 번 악수를 했다고 한다. 이 때, 집회에 참가한 사람 수는 항상 일정함을 보여라.
$x_1,x_2,\ldots,x_{1000}$은 정수이며, 672 이하의 임의의 양의 정수 $k$에 대해 $\sum_{i=1}^{1000}x_i^k$는 2017의 배수였다고 한다. 이 때, $x_1,x_2,\ldots,x_{1000}$은 모두 2017의 배수임을 보여라.
단, 2017은 소수이다.