3시간 30분에 5문제.
(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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어떤 주에서는 0부터 9가지의 숫자 여섯 자리로 된 면허증을 발급한다. 두 개의 면허증 번호는 적어도 두 자리가 달라야 한다. (즉, 027592와 020592는 동시에 사용될 수 없다.) 이 주에서 사용될 수 있는 서로 다른 면허증 번호는 최대 몇 개인지 구하고 그것을 증명하여라.
함수들의 수열 $\{f_n(x)\}$이 다음과 같이 점화적으로 정의된다: \begin{align*} f_1(x) &= \sqrt{x^2 + 48}, \\ f_{n+1}(x) &= \sqrt{x^2 + 6f_n(x)} \qquad (n \geq 1) \end{align*} 각각의 자연수 $n$에 대해, 방정식 $f_n(x) = 2x$ 의 모든 실수해를 구하여라.
14개의 구슬로 된 목걸이 $A$와 19개의 구슬로 된 목걸이 $B$가 있다. $n$은 임의의 홀수 자연수이다. 이 33개의 구슬에 다음의 집합 \[ \{ n, n+1, n+2, \dots, n+32 \}\]에서 하나씩 대응시켜 번호를 붙이는데, 이웃한 두 구슬의 번호는 항상 서로 소가 되도록 할 수 있음을 보여라.
$n$진법으로 썼을 때, 모든 자릿수가 서로 다르고, 가장 왼쪽 자릿수를 제외한 나머지 자릿수는 그보다 왼쪽에 있는 자릿수 중에 1만큼 차이나는 것이 항상 있는 자연수는 모두 몇 개인지 구하고 그것을 증명하여라.
평면 위에 예각삼각형 $ABC$가 주어져있다. $AB$를 지름으로 하는 원이 높이 $CC’$ 및 그 연장선과 두 점 $M$, $N$에서 만나고, $AC$를 지름으로 하는 원이 높이 $BB’$ 및 그 연장선과 두 점 $P$, $Q$에서 만난다. $M$, $N$, $P$, $Q$가 한 원 위에 있음을 증명하여라.