3시간 30분에 5문제.

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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각각의 양의 정수 $n$에 대해, 다음과 같이 두자. \begin{align*} S_n &= 1 + \frac12 + \frac13 + \cdots + \frac1n \\ T_n &= S_1 + S_2 + S_3 + \cdots + S_n \\ U_n &= \frac{T_1}2 + \frac{T_2}3 + \frac{T_3}4 + \cdots + \frac{T_n}{n+1} \end{align*} $T_{1988} = a S_{1989} – b$ 와 $U_{1988} = c S_{1989} – d$ 를 만족하는 정수 $0 < a,b,c,d < 1000000$ 를 구하고, 그것을 증명하여라.

어느 지역 테니스 클럽의 20명의 회원들이 단식전을 갖기로 했다. 경기는 모두 14번이고, 각 회원은 최소한 한 경기에는 참가한다. 그럼 이 경기들 중에 서로 다른 12명이 참가하는 6 경기가 있음을 증명하여라.

$P(z) = z^n + c_1 z^{n-1} + c_2 z^{n-2} + \cdots + c_n$ 은 복소변수 $z$와 실계수 $c_k$들로 이루어진 다항식이다. $|P(i)| < 1$ 이라 하자. $P(a+bi) = 0$ 이고 $(a^2+b^2+1)^2 < 4b^2 + 1$ 인 실수 $a$, $b$가 존재함을 증명하여라.

$AB < AC < BC$ 를 만족하는 예각삼각형 $ABC$가 있다. 삼각형 $ABC$의 내심과 외심을 각각 $I$, $O$라 하자. 직선 $IO$는 변 $AB$와 변 $BC$와 만남을 증명하여라.

$u$와 $v$는 다음을 만족하는 실수이다. \[ (u + u^2 + u^3 + \cdots + u^8) + 10u^9 = (v + v^2 + v^3 + \cdots + v^{10}) + 10v^{11} = 8\] $u$와 $v$ 중 어느 쪽이 더 큰 지 밝히고, 그것을 증명하여라.