집합 $P$와 $Q$는 각각 좌표평면 위에 꼭지점이 격자점들로 만들어진 볼록다각형 위나 그 내부에 있는 점의 집합이라 한다. $T=P\cap Q$라 하자. 이때 $T$가 공집합이 아니면서 $T$에 격자점이 없다면 $T$는 어느 내각도 180도가 아닌 볼록사각형임을 증명하라.
(좌표평면 위의 점 $(x,y)$가 격자점이란 $x$, $y$ 모두 정수라는 뜻이다.)
(2013년 3월 25일, 출처, 4시간 30분)

$2$ 이상의 정수 $k$에 대해 $T_k=\{(x,y): x,y=0,1,\ldots,k-1\}$를 평면 위의 $k^2$개의 격자점의 집합이라 하자. 집합 $T_k$에 있는 두 점 사이의 서로 다른 거리의 수열을 $d_1(k)>d_2(k)>\cdots$이라 하자. $T_k$에 있는 두 점 사이의 거리가 정확히 $d_i(k)$인 쌍의 수를 $S_i(k)$라 하자.
임의의 세 양의 정수 $m \gt n\gt i$에 대해 $S_i(m)=S_i(n)$임을 증명하라.
(2013년 3월 18일, 출처, 4시간 30분)