양의 정수 $n$이 주어져 있다. 각각 정수 $n$개로 구성된 두 수열 $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$과 $(b_1,b_2,\ldots,b_n)$이 \[\lvert a_1b_1+\cdots+a_nb_n\rvert \le 1\]을 만족하면 그 두 수열을 잘 어울리는 쌍이라고 하자.
정수 $n$개로 구성된 서로 다른 수열 $m$개를 모았더니 어느 두 수열을 보더라도 잘 어울리는 쌍이 된다고 한다. 이때 $m$ 값의 최댓값을 구하라.
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2013 국제대학생수학경시대회(IMC) 둘째날 3번문제
$v_1,v_2,\ldots,v_d$는 $\mathbb R^d$의 단위 벡터라고 하자. 이때 모든 $i=1,2,\ldots,d$에 대해 \[ \lvert u\cdot v_i\rvert \le 1/\sqrt{d}\]가 되는 단위 벡터 $u$가 존재함을 증명하라. (단, $\cdot$은 $\mathbb R^d$에서 흔히 사용되는 내적이다.)
(2013년 8월 9일, 불가리아, 5문제, 출처)