직선 $l$이 원 $S$와 점 $A$에서 접한다. $B$와 $C$는 점 $A$에 대해 서로 반대쪽에 있는 직선 $l$ 위의 점들이다. $B$와 $C$에서 $S$에 그은 또 다른 두 접선이 점 $P$에서 만난다. $|AB| \cdot |AC|$의 값이 일정하게 유지되도록 하면서 $B$와 $C$를 직선 $l$을 따라 움직일 때, 점 $P$의 자취를 구하여라.

직선 $\ell$과 점 $A$, 그리고 실수 $k(\gt 0)$ 가 주어져 있다. $P$는 $\ell$ 위를 움직이는 점이고, $Q$는 $\overrightarrow{AP}$ 위의 $AP \cdot AQ = k^2$ 을 만족하는 점이다. $Q$의 자취를 구하여라.

$\displaystyle w=\frac{1}{2}\left( z+\frac{1}{z}\right)$로 주어졌을 때, $z$가 원점을 중심으로 하는 원 위를 움직이면, $w$는 어떤 도형 위를 움직이는가?
(1997년 10월 12일, 출처)