(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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실수 $\alpha$, $\beta$가 다음 방정식을 만족할 때, $\alpha+\beta$를 구하여라. \begin{align*} \alpha^3 – 3\alpha^2 + 5\alpha – 17 &= 0 \\ \beta^3 – 3\beta^2 + 5\beta + 11 &= 0 \end{align*}

적당한 $k \geq 2$ 와 적당한 자연수들 $a_1, a_2, \ldots, a_k$ 이 유일하게 존재하여 $n = a_1 + a_2 + \cdots + a_k = a_1a_2 \cdots a_k$ 을 만족할 때, $n$을 좋은 자연수라고 부르기로 하자. [예를 들어 $10 = 5+2+1+1+1 = 5 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1$ 이고 이게 유일한 표현이므로 10은 좋은 자연수이다.]
소수에 관한 논지로써, 어떤 자연수가 좋은 자연수인지 모두 찾아 말하여라.

직선 $l$이 원 $S$와 점 $A$에서 접한다. $B$와 $C$는 점 $A$에 대해 서로 반대쪽에 있는 직선 $l$ 위의 점들이다. $B$와 $C$에서 $S$에 그은 또 다른 두 접선이 점 $P$에서 만난다. $|AB| \cdot |AC|$의 값이 일정하게 유지되도록 하면서 $B$와 $C$를 직선 $l$을 따라 움직일 때, 점 $P$의 자취를 구하여라.

$n \geq 1$ 이고 $a_0, a_1, \dotsc, a_{n-1}$은 실수들이다. $f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0$ 에서 $|f(0)| = f(1)$ 이 성립하고 $f(x) = 0$ 의 모든 근이 $0 < x < 1$ 범위의 실근이라고 한다. 모든 실근들의 곱이 $\frac1{2^n}$ 이하임을 보여라.

임의의 복소수 $z = x + iy$ 에 대응되는 좌표 $(x,y)$를 $P(z)$로 나타내기로 하자. $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$, $\alpha$가 다음을 만족하는 0 아닌 복소수들이라고 한다.
(i) $P(z_1)$, $P(z_2)$, $P(z_3)$, $P(z_4)$, $P(z_5)$는 원점 $O$를 내부에 포함하는 어떤 볼록오각형 $Q$의 꼭지점들이다.
(ii) $P(\alpha z_1)$, $P(\alpha z_2)$, $P(\alpha z_3)$, $P(\alpha z_4)$, $P(\alpha z_5)$는 모두 $Q$의 내부에 있다.
$P(\alpha) = (p,q)$ 라 할 때, $p^2 + q^2 \leq 1$ 와 $p + q \tan\frac\pi5 \leq 1$ 가 성립함을 보여라.

평면 위에 다섯 개의 격자점(정수 좌표의 점)이 주어져 있다. 그럼 이들 중 어느 두 점을 있는 선분 위에 또다른 격자점이 놓여있음을 보여라.

$a_1, a_2, \ldots, a_n$; $b_1, b_2, \ldots, b_n$ 은 $2n$개의 실수들이고, $a_1, a_2, \ldots, a_n$은 모두 서로 다르다. 모든 $i = 1, 2, \dotsc, n$ 에 대해
\[ (a_i+b_1)(a_i+b_2) \cdots (a_i+b_n)\]이 $i$와 상관없이 일정한 값을 갖는다고 한다. 그럼 모든 $j = 1, 2, \dotsc, n$ 에 대해 \[ (a_1+b_j)(a_2+b_j) \cdots (a_n+b_j)\]도 $j$와 상관없이 일정한 값이 됨을 보여라.

이항계수 $\binom nr$은 $n$개 사물에서 $r$를 택하는 경우의 수를 나타내고, $\binom n0 = 1$, 그리고 $n < r$ 이면 $\binom nr = 0$ 으로 정의한다. $1 \leq r \leq n$ 인 임의의 정수 $r$, $n$에 대해 다음 항등식을 증명하여라.\[ \sum_{d=1}^\infty \binom{n-r+1}d \binom{r-1}{d-1} = \binom nr\]

$x$는 $0 < x < \pi$ 범위의 실수이다. 모든 자연수 $n$에 대해 다음을 증명하여라.\[ \sin x + \frac{\sin 3x}3 + \frac{\sin 5x}5 + \cdots + \frac{\sin(2n-1)x}{2n-1} > 0\]

(1) 단위 정사각형들로 이루어진 $l \times m$ 크기의 격자직사각형에 대각선을 그리면, 이 대각선은 모두 $l+m-d$ 개의 단위 정사각형을 통과함을 보여라. 단, $d$는 $l$과 $m$의 최대공약수이다.
(2) 단위 정육면체들로 이루어진 $l \times m \times n$ 크기의 격자직육면체에 주대각선을 그렸을 때, 이 대각선이 통과하는 단위 정육면체는 모두 몇 개인가?