$1$번부터 $n$번까지 $n$명의 학생이 있다. $1$에서 $n$까지의 정수가 각각 하나씩 적혀있는 $n$장의 카드가 들어 있는 통에서 각자 카드를 한 장씩 뽑기로 한다. 두 사람이 서로 상대방의 번호가 적힌 카드를 뽑으면 그 두 사람을 짝이라고 하자. 짝이 하나도 생기지 않을 확률을 $p_n$이라고 할 때, 다음이 성립함을 보여라.\[p_n-p_{n-1}=\cases{ 0 & \text{$n$은 홀수}\cr \frac{1}{(-2)^k k!} & n=2k}\]

(2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분)