예각삼각형 $ABC$에 대하여 $\angle A = 45^\circ$이다. 두 점 $O$, $H$를 각각 삼각형 $ABC$의 외심과 수심이라고 하자. $B$에서 $CA$에 내린 수선의 발을 $D$라 하자. 삼각형 $ADH$의 외접원 위에서 $D$를 포함하는 원호 $AH$의 중점을 $X$라 할 때, $DX = DO$가 성립함을 보여라.

다음 조건을 만족하는 모든 정수 $n\gt 3$을 구하여라:

(조건) 각 대각선이 다른 대각선 중 적어도 하나의 수직이등분선이 되는 볼록$n$각형이 존재한다.

사각형 $ABCD$가 한 원에 외접하고, 대각선 $AC$와 $BD$는 서로 수직이 아니다. 이 두 대각선이  교차하여 만들어지는 두 각의 이등분선들이 변 $AB$, $BC$, $CD$, $DA$와 만나는 점을 각각 $K$, $L$, $M$, $N$이라 하자. $KLMN$이 한 원에 내접한다면, $ABCD$도 한 원에 내접함을 보여라.

원에 내접하는 사각형 $ABCD$에 대하여, $A$, $B$를 지나는 원이 변 $CD$와 점 $E$에서 접한다. $C$, $D$를 지나는 또 다른 원이 $AB$와 점 $F$에서 접한다. 점 $G$를 $AE$와 $DF$의 교점, 점 $H$를 $BE$와 $CF$의 교점이라 할 때, 삼각형 $AGF$, $BHF$, $CHE$, $DGE$의 내심들이 한 원 위에 있음을 보여라.

다음 그림과 같이 세 개의 직사각형이 있다. 몇 개 선분의 길이는 주어져 있다. 선분 $XY$의 길이를  구하여라.

 두 원 $\omega_1$, $\omega_2$의 중심을 각각 $O_1$과 $O_2$라 하고, 이 두 원이 두 점 $A$와 $B$에서 만난다 하자. 직선 $O_1B$와 $\omega_2$의 두번째 교점을 $C$라 하고, 직선 $O_2A$와 $\omega_1$의 두번째 교점을 $D$라 하자. $X$를 $AC$와 $\omega_1$의 두번째 교점이라 하고, $Y$를 $BD$와 $\omega_2$의 두번째 교점이라 할 때, $CX = DY$가 성립함을 보여라.