각 면이 삼각형인 다면체가 있다. $P$는 이 다면체의 한 변에 있는 임의의 점으로 그 변의 중점이나  양끝점이 아니다. 먼저 $P_0 =P$라 하자. 이후 각 단계에서 $P_i$를 그것을 포함하는 두 면 중 한 면의 무게중심과 직선으로 연결하고, 이 직선이 그 면을 둘러싼 경계와 점 $P_{i+1}$에서 만난다. 이 과정을 다시 $P_{i+1}$과 그 점을 포함하는 면에 대해 진행한다. 이러한 과정을 계속 진행할 때, 모든 면을 모두 통과하는 것은 불가능함을 보여라. (단, 삼각형의 무게중심이란 각 꼭짓점에서 마주 보는 변의 중점을 이은 선분들의 교점이다.)

평행사변형 $ABCD$에 대하여 $\angle DAC = 90^\circ$이다. $A$에서 $DC$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. $P$는 직선 $AC$ 위의 점이고, 직선 $PD$가 삼각형 $ABD$의 외접원에 접한다. 이때, $\angle PBA = \angle DBH$가 성립함을 보여라.

아래 그림과 같이 40×30 종이가 있고 그 안에 검은색으로 색칠된 10×5 직사각형이 놓여져 있다. 우리는 색칠된 직사각형을 정확히 네 번의 가위질로 잘라내고자 한다. 각 가위질은 직선모양으로 이루어지며 자르는 종이를 두 조각으로 나누어야 한다. 가위질을 하여 생긴 두 조각의 종이 중 색칠된 직사각형을 포함한 조각만을 남겨 다음 가위질을 진행한다. 우리의 목표는 색칠된 직사각형을 잘라낼 때까지 가위질을 하는 총 길이를 가장 작게 하는 것이다. 이 목표를 어떻게 달성할 수 있으며, 그 최소한의 길이는 얼마인가? 올바른 커트 방법을 설명하고 최종 답만 적으면 되고, 답을 증명할 필요는 없다.

볼록육각형 $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$이 볼록육각형 $B_1B_2B_3B_4B_5B_6$의 내부에 놓여 있고, $A_1A_2 \parallel B_1B_2$, $A_2A_3 \parallel B_2B_3$, …, $A_6A_1\parallel B_6B_1$이라 하자. 이때 단순 육각형 $A_1B_2A_3B_4A_5B_6$과 $B_1A_2B_3A_4B_5A_6$의 넓이가 같음을 보여라. (단순 육각형이란 그것의 어느 두 변도 서로 교차하지 않는 육각형이다.)

평행사변형 ABCD에 대하여, $\angle D = 60^\circ$, $AD = 2$, $AB=\sqrt 3+1$이다. 점 $M$은 $AD$의 중점이고, 선분 $MB$ 위의 점 $K$에 대해 선분 $CK$가 각 $C$의 각이등분선일 때, $\angle CKB$의 값을 구하여라.

원 $\omega$의 내부에 이 원에 접하는 두 원이 있고, 이 두 원의 중심을 $O_1$, $O_2$라 하자. 원$\omega$의 현 $AB$가 이 두 원에 접하고, 두 원은 이 현에 대해 서로 반대쪽에 놓여 있다. $\angle O_1AO_2+\angle O_1BO_2\ge 90^\circ$가 성립함을 보여라.