집합 $S$는 아래 세 조건을 만족시키는 양의 정수들의 집합 중 가장 작은 것이다.

(a) $2$는 $S$의 원소이다.

(b) $n^2$이 $S$의 원소이면 $n$ 또한 $S$의 원소이다.

(c) $n$이 $S$의 원소이면, $(n+5)^2$ 또한 $S$의 원소이다.

$S$에 속하지 않은 양의 정수들은?

(집합 $S$가 가장 작다는 뜻은 $S$가 그러한 성질을 갖는 다른 모든 집합의 부분집합이라는 뜻이다.)

다항식 $Q_0(x) = 1$, $Q_1(x) = x$이며 정수 $n\ge 2$에 대하여  \[Q_n(x) = \frac{(Q_{n-1}(x))^2 – 1}{Q_{n-2}(x)}\]이라고 하자. 모든 양의 정수 $n$에 대하여 $Q_n(x)$는 정수 계수 다항식임을 보여라.

총 $2N$명의 학생이 있는 학급에서 퀴즈 시험을 보았으며, 가능한 점수는 $0$, $1$, $\ldots$, $10$점 중 하나였다. 각각의 점수는 적어도 한 번 이상 나왔고, 평균은 정확히 $7.4$였다. 이때 이 학급을 학생 $N$명씩 두 그룹으로 잘 나누어서 각 그룹의 학생들의 성적 평균이 정확히 $7.4$가 되게 할 수 있음을 보여라.

양의 정수 $N$이 \[N = a + (a+1) +(a+2) + \cdots + (a+k-1)\]과 같이 $k$개의 연속한 양의 정수의 합으로 표현될 수 있는 $k>1$가 $k=2017$인 경우 밖에 없다고 한다. 이러한 성질을 갖는 양의 정수 $N$ 중에서 $a$ 값이 가장 작은 것은 무엇이겠는가?

다음 식의 값을 구하여라.\begin{gather*}\sum_{k=0}^\infty \left( 3 \cdot \frac{\ln(4k+2)}{4k+2} – \frac{\ln(4k+3)}{4k+3} – \frac{\ln(4k+4)}{4k+4} – \frac{\ln(4k+5)}{4k+5} \right) \\= 3 \cdot \frac{\ln 2}{2} – \frac{\ln 3}{3} – \frac{\ln 4}{4} – \frac{\ln 5}{5}+ 3 \cdot \frac{\ln 6}{6} – \frac{\ln 7}{7} \\ – \frac{\ln 8}{8} – \frac{\ln 9}{9}+ 3 \cdot \frac{\ln 10}{10} – \cdots .\end{gather*} (단, $\ln x$는 $x$의 자연로그값을 뜻한다.)