다음 조건을 만족하는 실수 계수 다항식 $p(x)$를 모두 찾아라: 모든 양의 정수 $n$에 대하여\[ p(1)+p(2)+p(3)+\cdots+p(n)=p(n)q(n)\]이 성립하는 실수 계수 다항식 $q(x)$가 존재한다.
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2018년 제31회 한국수학올림피아드 최종시험 5번문제
임의의 실수 $x$에 대하여 \[P(Q(x))-3Q(P(x))=1\]을 만족하는 차수가 2018 이상인 두 정수계수 다항식 $P(x)$와 $Q(x)$가 존재하는가?
2018 루마니아 수학 마스터 2번문제
등식\[P(x)^{10}+P(x)^9 = Q(x)^{21}+Q(x)^{20}\]을 만족하는 상수함수가 아닌 실수 계수 다항식 $P(x)$, $Q(x)$가 존재하는가?
2008 아일랜드 수학올림피아드 오전 2번문제
실수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $a^2+b^2+c^2+d^2=1$이면 \[ a^2b^2cd+ab^2c^2d+abc^2d^2+a^2bcd^2+a^2bc^2d+ab^2cd^2\le \frac{3}{32}\]이 성립함을 보이고 등호가 성립할 조건을 구하여라.
2008 아일랜드 수학올림피아드 오후 5번문제
양의 실수 $x$, $y$, $z$가 $xyz\ge 1$을 만족시킨다고 한다.
(a) $27\le (1+x+y)^2+(1+y+z)^2+(1+z+x)^2$을 증명하고 등호가 성립할 필요충분조건은 $x=y=z=1$임을 보여라.
(b) $(1+x+y)^2+(1+y+z)^2+(1+z+x)^2\le 3(x+y+z)^2$임을 증명하고 등호가 성립할 필요충분조건은 $x=y=z=1$임을 보여라.
2018 영국수학올림피아드 (BMO) 2라운드 4번문제
실수를 받아서 실수값을 주는 함수 $f$가 있다. 만일 모든 $x\le y$에 대하여 $f(x)\le f(y)$이고, 모든 실수 $z$에 대하여 $f^{2018}(z)$가 정수이면 그 함수 $f$를 흡수한다고 하자.
a) $f(x)$가 정수인 $x$가 유한개밖에 없는 흡수하는 함수가 존재하는가?
b) 어떤 $i$에 대하여 $x=a_i$일 때만 $f(x)$가 정수가 되는 적당한 실수의 증가 수열 $a_1\lt a_2\lt a_3\lt \cdots$가 있을 흡수하는 함수가 존재하는가?
여기서 양의 정수 $k$와 함수 $f$에 대하여 $f^k$는 함수 $f$를 $k$번 합성한 함수를 뜻한다. 예를 들어, $f^3(t)=f(f(f(t)))$이다.