(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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각 자연수 $n$에 대해, $n!+1$ 과 $(n+1)!$의 최대공약수 $f(n)$의 공식을 구하여라.

자연수 $n$을 십진법으로 쓴 각 자릿수의 합을 $S(n)$으로 나타내자. 모든 $n$에 대해 다음을 증명하여라.\[ S(2n) \leq 2 S(n) \leq 10 S(2n)\] 또한, $S(n) = 1996 S(3n)$ 을 만족하는 자연수 $n$이 있음을 증명하여라.

다음을 만족하는 함수 $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ 가 있다.
(i) $f(1) = 1$
(ii) 모든 $x \in [0,1]$ 에 대해 $f(x) \geq 0$
(iii) $x, y, x+y \in [0,1]$ 이면 항상 $f(x+y) \geq f(x) + f(y)$
모든 $x \in [0,1]$ 에 대해 $f(x) \leq 2x$ 임을 증명하여라.

삼각형 $ABC$의 변 $BC$의 중점을 $F$라 하자. 변 $AB$와 $AC$의 바깥쪽으로, $D$와 $E$에서의 꼭지각이 직각인 이등변삼각형 $ABD$와 $ACE$를 그렸다. $DEF$도 직각이등변삼각형임을 증명하여라.

한 정사각형을 다섯 개 이하의 조각으로 분할한 후 그 조각들을 다시 조립하여 서로 다른 넓이의 세 정사각형을 만드는 방법을 제시하여라.

피보나치 수열은 $F_0=0$, $F_1=1$, 그리고 $n \geq 0$ 에 대해 $F_{n+2} = F_n + F_{n+1}$ 로 정의된다. 다음을 증명하여라.
(1) “$F_{n+k} – F_n$ 이 모든 자연수 $n$에 대해 10으로 나누어떨어진다”는 문장은
$k=60$ 일 때는 참이지만 $k<60$ 이면 항상 거짓이다. (2) ``$F_{n+t} - F_n$ 이 모든 자연수 $n$에 대해 100으로 나누어떨어진다''는 문장은 $t=300$ 일 때는 참이지만 $t<300$ 이면 항상 거짓이다.

모든 자연수 $n$에 대해 다음을 보여라.\[ 2^{1/2} \cdot 4^{1/4} \cdot 8^{1/8} \cdot \cdots \cdot (2^n)^{1/2^n} < 4\]

$p$는 소수이고 $a$와 $n$은 $2^p + 3^p = a^n$을 만족하는 자연수이다. $n=1$ 임을 증명하여라.

예각삼각형 $ABC$에서 꼭지점 $A$, $B$, $C$로부터 대변에 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$, $F$라 하고, 다시 $A$, $B$, $C$에서 $EF$, $FD$, $DE$에 내린 수선의 발을 각각 $P$, $Q$, $R$이라 하자. 세 직선 $AP$, $BQ$, $CR$이 한 점에서 만남을 증명하여라.

$5 \times 9$(5행 9열) 크기의 직사각 체스판에서 다음과 같은 게임을 한다. 처음에 몇 개의 원판이 이 체스판의 임의의 칸들에 놓여있었다. 단, 한 칸에는 원판이 하나만 놓일 수 있다. 완전한 움직임이란 이 체스판의 모든 원판을 다음과 같은 규칙에 따라 동시에 움직이는 것을 말한다.
(i) 각각의 원판은 위, 아래, 왼쪽, 오른쪽 중의 한 방향으로 한 칸을 이동할 수 있다.
(ii) 위나 아래로 움직였던 원판은 다음 번 완전한 움직임 때는 왼쪽이나 오른쪽으로 움직여야 한다.
(iii) 왼쪽이나 오른쪽으로 움직였던 원판은 다음 번 완전한 움직임 때는 위나 아래로 움직여야 한다.
(iv) 완전히 움직인 후에도 각 칸에는 두 개 이상의 원판이 있을 수 없다.
더 이상 완전한 움직임을 행할 수 없으면 이 게임은 끝난다. 처음에 이 체스판 위에 33개의 원판이 있었다면 이 게임은 유한번 안에 끝남을 증명하여라. 또한, 이 게임이 영원히 계속 되도록 처음에 32개의 원판을 잘 배치하고 게임을 진행하는 것이 가능함을 증명하여라.