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전체를 곱하면 $1$이 되는 양수의 수열 $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$이 있다. 이때 다음 식 \[ \frac{a_1}{1+a_1}+\frac{a_2}{(1+a_1)(1+a_2)}+\frac{a_3}{(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)}+\cdots+\frac{a_n}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)}\]의 값은  $\frac{2^n-1}{2^n}$보다 크거나 같음을 보여라.

두 양의 홀수 $m$, $n$이 있다. 가로 $m$칸, 세로 $n$칸인 바둑판모양의 판의 각 칸을 빨강 혹은 파랑으로 색칠한다. 어떤 행에 빨강색 칸이 파랑색 칸보다 많으면 그 행은 ‘주로 빨강’이라 하자. 어떤 열에 파랑색 칸이 빨강색 칸보다 많으면 그 열을 `주로 파랑’이라 하자. 이때 주로 빨강인인 행의 수와 주로 파랑인 열의 수의 합의 최대값을 $m$과 $n$에 관한 식으로 구하여라.

홀수인 소수 $p$가 있다. 정수 $p$개의 나열 $(a_1,a_2,\ldots,a_p)$이 다음 세 조건을 만족하면 좋다고 하자.
(i) 모든 $i$에 대해 $0\le a_i\le p-1$.
(ii) $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_p$는 $p$의 배수가 아니다.
(iii)  $a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_p a_1$은 $p$의 배수이다.
이때 정수 $p$개의 나열 중에 좋은 것의 수를 구하여라.

원에 내접한 사각형 $ABCD$의 내부에 점 $P$가 있어서 $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCD=\angle PDA$를 만족한다. 직선 $AD$와 $BC$가 점 $Q$에서 만나고 직선 $AB$와 $CD$가 점 $R$에서 만난다고 하자. 이때 직선 $PQ$와 $PR$이 이루는 각이 사각형 $ABCD$의 두 대각선이 이루는 각과 같음을 보여라.

양의 정수 $n$과 $k\ge 2$가 주어져있다. 칠판의 어느 줄에 $n$개 정수가 적혀있다. 철수가 연속으로 나열된 정수의 묶음을 고를때마다 영희는 거기에 있는 모든 정수에 $1$을 더하거나 뺄 수 있다. 이러한 과정을 철수가 원하는만큼 반복할 수 있다. 이때 영희가 어떻게 하든지간에 철수가 위의 작업을 잘 반복하여 칠판에 적힌 수 중 적어도 $n-k+2$개 이상의 수가 동시에 $k$의 배수가 되도록 할 수 있음을 보여라.