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넓이가 32인 어떤 볼록사각형에서 서로 마주보는 한 쌍의 변과 한 대각선의 길이를 합한 것이 16이라고 한다. 나머지 한 대각선의 가능한 길이를 모두 구하여라.
$P_1(x) = x^2-2$ 이고 $P_j(x) = P_1(P_{j-1}(x))$ 라 정의하자($j=2,3,…$). 어떤 자연수 $n$에 대해서도, 방정식 $P_n(x) = x$ 의 근들은 모두 실수이고 서로 다름을 보여라.
단위 정육면체들로 완전히 채워질 수 있는 어떤 직육면체꼴 상자가 있다. 이 상자를 부피 2짜리의 정육면체로 채우는데, 정육면체의 각 모서리가 상자의 모서리들과 평행하도록 최대로 채운 경우 정확히 상자의 $40$%를 채울 수 있다고 한다. 이러한 직육면체 상자의 가능한 치수를 모두 구하여라.
합이 $1976$인 자연수들의 곱의 최댓값을 구하고, 그것을 증명하여라.
$p$개의 등식과 $q=2p$ 개의 미지수 $x_1,x_2,…,x_q$ 로 이루어진 다음 연립방정식 \begin{align*} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1q}x_q &= 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2q}x_q &= 0 \\ \cdots\qquad\qquad& \\ a_{p1}x_1 + a_{p2}x_2 + \cdots + a_{pq}x_q &= 0 \end{align*}에서 모든 계수 $a_{ij}$는 집합 $\{-1,0,1\}$의 원소이다. 이 연립방정식이 다음 조건을 만족하는 해 $(x_1,x_2,…,x_q)$를 가짐을 보여라.
(a) $x_j$ $(j=1,2,…,q)$ 는 모두 정수이다.
(b) $x_j \neq 0$ 인 $j$가 하나 이상 존재한다.
(c) $|x_j| \leq q$ $(j=1,2,…,q)$
수열 $\{u_n\}$은 다음과 같이 정의된다. \[ u_0 = 2, \quad u_1=5/2, \qquad u_{n+1} = u_n(u_{n-1}^2-2) – u_1 \quad\text{(n=1,2,…)} \] 모든 자연수 $n$에 대해 다음이 성립함을 증명하여라. \[ [u_n] =2^{[2^n-(-1)^n]/3} \] 단, $[x]$는 $x$보다 작거나 같은 최대의 정수를 나타낸다.