(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)
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$x_i$, $y_i$ $(i=1,2,…,n)$ 가 다음 조건을 만족하는 실수들이라 하자. \[ x_1 \geq x_2 \geq \cdots \geq x_n \qquad\text{이고}\qquad y_1 \geq y_2 \geq \cdots \geq y_n \] $z_1,z_2,…,z_n$ 이 $y_1,y_2,…,y_n$ 의 임의의 순열이라 할 때, 다음을 증명하여라. \[ \sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2 \leq \sum_{i=1}^n (x_i-z_i)^2 \]
$a_1,a_2,a_3,…$ 을 자연수들의 증가하는 무한수열이라 하자. 각각의 $p \geq 1$ 마다 \[ a_m = xa_p + ya_q \qquad\text{($x$, $y$는 자연수이고 $q > p$)} \] 꼴로 쓸 수 있는 $a_m$이 무한히 많이 존재함을 보여라.
임의의 삼각형 $ABC$의 각 변 바깥으로 $\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ$, $\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ$, $\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ$ 가 되도록 세 삼각형 $ABR$, $BCP$, $CAQ$를 만들었다. $\angle QRP = 90^\circ$ 이고 $QR=RP$ 임을 증명하여라.
$4444^{4444}$를 십진법으로 나타내었을 때 각 자리수의 합을 $A$라고 하자.
$A$의 각 자리수의 합을 $B$라고 하자.
$B$의 각 자리수의 합을 구하여라.
($A$와 $B$는 모두 십진법으로 나타낸 수들이다.)
단위 반지름을 갖는 원의 둘레 위에 1975개의 점을 잡는데, 어떤 두 점 사이의 거리도 모두 유리수가 되도록 하는 것이 가능한가? 증명 또는 반증하여라.
다음 조건들을 만족하는 2변수 다항식 $P$를 모두 찾아라.
(i) 어떤 자연수 $n$과 임의의 실수 $t$, $x$, $y$에 대해 \[ P(tx,ty) = t^n P(x,y) \] (즉, $P$는 차수 $n$인 동차식이다.)
(ii) 모든 실수 $a$, $b$, $c$에 대해 \[ P(b+c,a) + P(c+a,b) + P(a+b,c) = 0 \]
(iii) $P(1,0)=1$