(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)

일본 도쿄

한국대표팀: 6위

• 단장: 김명환 (서울대)
• 부단장: 김서령 (경희대), 김종수 (서강대), 송용진 (인하대)
• 대표학생: 김병혁 (전북과고3, 은메달), 윤여일 (서울과고1, 금메달), 정준혁 (서울과고2, 금메달), 최경수 (유신고2, 은메달), 허재혁 (서울과고3, 은메달), 홍세린 (서울과고3, 은메달)

---

$A$는 집합 $S = \{1,2,3,\ldots,1000000\}$ 의 101개의 원소를 갖는 부분집합이라 하자. 다음 집합 \[ A_j = \{\, x+t_j \mid x \in A \,\}, \qquad j = 1, 2, \dotsc, 100\]들이 모두 둘씩 서로소가 되도록 하는 수 $t_1, t_2, \dotsc, t_{100}$ 들을 $S$에서 골라낼 수 있음을 증명하여라.

다음의 식 \[ \frac{a^2}{2ab^2-b^3+1}\]이 자연수가 되도록 하는 모든 자연수해 $(a,b)$를 구하여라.

주어진 볼록육각형에서 각각의 서로 마주보는 두 대변이 다음의 성질을 갖는다고 한다:

이 두 변의 중점 사이의 거리는 이 두 변의 길이의 합의 $\sqrt3 /2$ 배이다.

이 육각형의 내각의 크기가 모두 같음을 증명하여라.
(볼록육각형 $ABCDEF$는 세 쌍의 대변을 갖는다: $AB$와 $DE$, $BC$와 $EF$, $CD$와 $FA$)

$ABCD$가 원에 내접하는 사각형이라 하자. 점 $D$에서 직선 $BC$, $CA$, $AB$에 내린 수선의 발을 각각 $P$, $Q$, $R$이라 하자. $PQ = QR$ 일 때, 그리고 그 때에만 $\angle ABC$와 $\angle ADC$의 이등분선들이 $AC$ 위에서 만남을 보여라.

$n$이 자연수이고, $x_1, x_2, \ldots, x_n$은 $x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n$ 을 만족하는 실수들이라 하자.
(a) 다음을 증명하여라:\[ \left( \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i-x_j| \right)^2 \le \frac{2(n^2-1)}3 \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (x_i-x_j)^2\]
(b) 위의 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 $x_1,x_2,\ldots,x_n$이 등차수열임을 증명하여라.

$p$를 소수라 하자. 임의의 정수 $n$에 대해 $n^p – p$ 가 언제나 $q$로 나누어떨어지지 않게 하는 적당한 소수 $q$가 존재함을 증명하여라.