3시간 30분에 5문제.

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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2 이상의 각 정수 $n$에 대해 다음을 만족하는 두 양의 실수 $a$와 $b$ 중에서 어느 것이 더 큰지 밝혀라.\[ a^n = a + 1, \qquad b^{2n} = b + 3a\]

볼록사각형 $ABCD$의 두 대각선 $AC$와 $BD$가 서로 직교하고, 그 교점을 $E$라 하자. $E$를 $AB$, $BC$, $CD$, $DA$에 대해 각각 대칭시킨 점들이 모두 한 원 위에 있음을 증명하여라.

다음을 만족하는 함수 $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ 를 생각하자.
(i) 모든 $x \in [0,1]$ 에 대해 $f(x) \geq 0$
(ii) $f(1) = 1$
(iii) $x, y, x+y \in [0,1]$ 이면 $f(x) + f(y) \leq f(x+y)$
(i)-(iii)을 만족하는 모든 함수 $f$와 모든 $x \in [0,1]$ 에 대해 \[ f(x) \leq cx\]가 항상 성립하도록 하는 가장 작은 상수 $c$를 구하여라.

$a$, $b$는 양의 홀수이다. $f_1 = a$, $f_2 = b$, 그리고 $n \geq 3$ 에 대해 $f_{n-1} + f_{n-2}$ 의 약수 중 가장 큰 홀수를 $f_n$으로 정의하자. 충분히 큰 $n$에 대해 $f_n$이 일정한 상수가 된다고 할 때, 그 값을 $a$와 $b$에 대한 식으로 나타내어라.

$a_0, a_1, a_2, \dots$ 은 $a_{i-1} a_{i+1} \leq a_i^2$ $(i = 1, 2, 3, \dots)$ 을 만족하는 양의 실수들의 수열이다. (이런 수열을 로그 오목하다고 말한다.) $n > 1$ 에 대해 다음이 성립함을 보여라.\[ \frac{a_0 + \cdots + a_n}{n+1} \cdot \frac{a_1 + \cdots + a_{n-1}}{n-1} \geq \frac{a_0 + \cdots + a_{n-1}}{n} \cdot \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n}\]