첫날 3문제, 둘째날 3문제로 매일 4시간 반동안 문제를 푼다.
출처
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점 $X$, $Y$에서 만나는 두 원 $\omega_1$, $\omega_2$가 있다. 원 $\omega_1$의 중심을 지나고 원 $\omega_2$와 점 $P$, $Q$에서 만나는 직선을 $\ell_1$, 원 $\omega_2$의 중심을 지나고 원 $\omega_1$와 점 $R$, $S$에서 만나는 직선을 $\ell_2$라 하자. 이때 점 $P$, $Q$, $R$, $S$를 모두 지나는 원이 있다면 그 원의 중심은 직선 $XY$ 위에 있음을 보여라.
양의 정수 $n$이 있다. 집합 $\{-n,-n+1,\ldots,n-1,n\}$의 부분집합 중 $a+b+c=0$이 되는 (서로 같을 수도 있는) 세 수 $a$, $b$, $c$를 포함하지 않는 것의 원소의 크기의 최대값을 구하여라.
양의 정수 $n$이 있다. 부등식 \[ \lvert x\rvert+\lvert x+\frac12\rvert\lt n\]을 만족시키는 정수점 $(x,y)$의 집합을 $S_n$이라 하자. 집합 $S_n$에 속한 서로 다른 점 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $\ldots$, $(x_\ell,y_\ell)$이 모든 $i=2,\ldots,\ell$에 대해 $(x_i,y_i)$에서 $(x_{i-1},y_{i-1})$까지 거리가 정확히 $1$인 경우 이 점들의 나열을 경로라고 부르자. 이때 $S_n$에 있는 점을 $n$개보다 적은 개수의 경로로 분할할 수 없음을 보여라.
($S_n$을 $m$개 경로로 분할한다는 말은 $m$개의 경로의 집합 $\mathcal P$이 존재하여 모든 $S_n$의 점이 $\mathcal P$에 속한 경로 중 정확히 하나에 포함된다는 것을 뜻한다.)
평면 위에 볼록 $n$각형 $\mathcal P$(단, $n\ge 3$)의 서로 교차하지 않는 대각선 $n-3$를 임의로 뽑으면 $\mathcal P$를 삼각형 $n-2$개로 분할할 수 있다. 정$n$각형을 대각선 $n-3$개 잘 뽑아서 이등변 삼각형 $n-2$개로 분할할 수 있을 정수 $n$을 모두 구하여라.
칠판에 음이 아닌 세 실수 $r_1$, $r_2$, $r_3$가 적혀있다. 이 세 수들끼리는 $a_1r_1+a_2r_2+a_3r_3=0$이 성립하게 하는 동시에 $0$은 아닌 세 정수 $a_1$, $a_2$, $a_3$이 존재한다는 성질이 만족된다. 칠판에 적힌 수에 대해 다음과 같은 시행을 할 수 있다: 칠판에 적힌 두 수 $x$, $y$를 $x\le y$이게 고른 후 $y$를 칠판에서 지우고 그 자리에 $y-x$를 적는다. 이때 이 시행을 유한번 적당히 반복해서 칠판에 $0$이 적어도 하나 이상 나타나게 할 수 있음을 증명하라.
수학자들이 모인 어느 학술대회에서 임의의 두 수학자 쌍을 봤더니 서로 아는 사이거나 모르는 사이였다고 한다. 점심시간이 되면 모든 참가한 수학자는 두 개의 큰 방 중 한 곳에서 식사를 한다. 각 수학자는 자기 방에 짝수명의 아는 사람이 있는 곳에서만 식사를 하고 싶어한다. 이때, 이 수학자들을 두 방으로 잘 나누는 경우의 수는 반드시 $2$의 지수승 꼴, 즉 어떤 양의 정수 $k$에 대해 $2^k$ 꼴이 됨을 증명하라.