2018년 3월 13일. 제한시간 4시간. 풀이
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삼각형 $ABC$의 수심을 $H$라 하자. 변 $AB$와 $AC$의 중점을 각각 $M$, $N$이라 하자. 사각형 $BMNC$의 내부에 $H$가 있으며 삼각형 $BMH$의 외접원과 $CNH$의 외접원이 서로 접한다고 한다. 점 $H$를 지나며 $BC$와 평행한 직선이 삼각형 $BMH$, $CNH$의 외접원과 각각 점 $K$($\neq H$), $L$($\neq H$)에서 만난다. 직선 $MK$와 $NL$의 교점을 $F$라 하고 삼각형 $MHN$의 내심을 $J$라 하자. 이때 $FJ=FA$임을 보여라.
두 함수 $f(x)$, $g(x)$가 아래와 같이 주어져 있다.\begin{align*}f(x)&=\frac1x+\frac1{x-2}+\frac1{x-4}+\cdots+\frac{1}{x-2018}\\g(x)&=\frac1{x-1}+\frac1{x-3}+\frac1{x-5}+\cdots+\frac1{x-2017}\end{align*}이때 $0<x<2018$인 임의의 실수 $x$에 대하여 $x$가 정수가 아니면 \( \lvert f(x)-g(x)\rvert >2\)임을 보여라.
평면 위의 $n$개의 정사각형의 집합이 아래 세 조건을 모두 만족시키면 셋연결되어 있다고 하자.
(i) 모든 정사각형은 합동이다.
(ii) 만일 두 정사각형에 동시에 속한 점 $P$가 있다면, $P$는 이 두 정사각형 각각의 꼭짓점이다.
(iii) 각각의 정사각형은 정확히 세 개의 다른 정사각형과 만난다.
셋연결된 $n$개의 정사각형이 존재할 양의 정수 $n$ 중 $2018\le n\le 3018$인 것은 모두 몇 개인가?
정삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $A$에서 삼각형 내부 방향으로 빛을 쏜다. 이 빛은 내부를 지나 맞은 변에 도달하면 반사법칙에 따라 움직인다. 반사법칙이란 빛이 각 $\alpha$로 도달하면 각 $180^\circ-\alpha$으로 나간다는 법칙이다. 빛이 다른 두 꼭짓점은 전혀 지나지 않고 $n$번 반사된 후 꼭짓점 $A$에 처음 도달하였다고 한다. 가능한 모든 $n$ 값을 구하여라.
모든 실수 $s$, $t$에 대하여 $P(s)$와 $P(t)$가 모두 정수라면 $P(st)$도 정수가 되는 정수 계수 다항식 $P(x)$를 모두 구하여라.