복소수 계수의 방정식 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ 의 모든 복소근이 절대값이 1이면, 방정식 $x^3 + |a|x^2 + |b|x + |c| = 0$ 의 모든 복소근도 마찬가지로 절대값이 1임을 증명하여라.
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1994 아일랜드 수학올림피아드 3번문제
다음 식을 항상 만족하는 모든 실계수 다항식 $f(x)$를 구하고, 그것을 증명하여라.\[ f(x^2) = f(x)f(x-1)\]
1993 아일랜드 수학올림피아드 4번문제
$n \geq 1$ 이고 $a_0, a_1, \dotsc, a_{n-1}$은 실수들이다. $f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0$ 에서 $|f(0)| = f(1)$ 이 성립하고 $f(x) = 0$ 의 모든 근이 $0 < x < 1$ 범위의 실근이라고 한다. 모든 실근들의 곱이 $\frac1{2^n}$ 이하임을 보여라.
1992 아일랜드 수학올림피아드 8번문제
$az^3 + bz^2 + cz + d = 0$ 의 세 근은 모두 실수부가 음수라고 한다. $ab > 0$ 이고 $bc > ad > 0$ 임을 보여라.
1991 아일랜드 수학올림피아드 2번문제
임의의 실수 $x$에 대해 $p(x^2) = p(x)^2$ 을 만족하는 다항식 $p(x)$를 모두 구하여라.
1991 아일랜드 수학올림피아드 5번문제
계수가 모두 $\pm1$이고 모든 근이 실수인 다항식을 모두 구하여라.