$a$, $b$, $c$가 실수일 때 다음과 같은 $\cos x$에 대한 이차 방정식을 생각하자.\[ a\cos^2x + b\cos x + c = 0\] $a$, $b$, $c$를 사용하여 위 방정식과 같은 해를 가지는 $\cos 2x$에 대한 이차 방정식을 만들어 보아라. $a=4$, $b=2$, $c=-1$ 일 경우 이 두 방정식을 비교해 보아라.
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2007 아일랜드 수학올림피아드 10번문제
$a$, $b$는 실수이고, 이차다항식 $f(x) = x^2 + ax + b$ 은 음이 아닌 실수해($f=0$의 해)를 갖지 않는다고 한다. 모든 실수 $x$에 대해 \[ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\]를 만족하는, 음 아닌 실수들만을 계수로 갖는 두 다항식 $g$, $h$가 존재함을 증명하여라.
2004 아일랜드 수학올림피아드 4번문제
다음 방정식의 실수해 $x$는 둘뿐임을 증명하여라.\[ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6) = 720\]
2000 아일랜드 수학올림피아드 10번문제
$p(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$ 은 음 아닌 실수 계수의 다항식이다. $p(4)=2$ 이고 $p(16)=8$ 이라 하자. $p(8) \leq 4$ 임을 증명하고, $p(8)=4$ 를 만족하는 $p$를 모두 찾아라.
1998 아일랜드 수학올림피아드 5번문제
$n$은 3 이상의 정수이다. $x^2 – x$ 와 $x^n – x$ 가 둘다 정수가 되는 실수 $x$는 정수뿐임을 증명하여라.
1997 아일랜드 수학올림피아드 3번문제
모든 $x$에 대해서 다음 식을 만족하는 모든 다항식 $P(x)$를 구하여라. \[ (x-16)P(2x) = 16(x-1)P(x)\]