소수 $p$와 1이 아닌 완전제곱수로는 나눠떨어지지 않는 짝수인 정수 $n$에서 $n$과 $p$가 서로소이고, $p\le 2\sqrt n$이며, $n+k^2$이 $p$의 배수가 되게 하는 $k$가 존재한다고 하자. 이때, $n=ab+bc+ca$가 되는 서로 다른 양의 정수 $a$, $b$, $c$가 존재함을 증명하라.
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2012 중국 TST3 둘째날 1번문제
주어진 정수 $n\ge 4$에 대해 $S=\{1,2,\ldots,n\}$이라 하자. 집합 $S$의 두 부분집합 $A$, $B$에서 임의의 원소 $a\in A$, $b\in B$에 대해 $ab+1$이 완전제곱수라면 \[ \min{|A|,|B|}\le \log_2 n\]임을 증명하라.
2011 제25회 한국수학올림피아드 고등부 2번
서로소인 두 양의 정수 $x$, $y$에 대하여, $x+3y^2$이 완전제곱수이면 $x^2 +9y^4$이 완전제곱수가 아님을 보여라.
(2011년 8월 21일)