고정된 양의 정수 $n$이 주어져있다. 이때, 주 대각선 값은 모두 $0$이고 그 외의 값은 모두 양의 실수 값이 들어있는 $n\times n$ 행렬의 rank 값의 최소값을 구하라.
(2012년 7월 28일 불가리아 Blagoevgrad. 5문제/5시간)
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2012 중국수학올림피아드 2번문제
어떤 소수 $p$가 주어져있다. 1부터 $p^2$까지의 소수를 $p\times p$ 행렬 $A=(a_{ij})$에 적절히 배치하였다고 하자. 어떤 행이나 열의 모든 수에 1을 더하거나 1을 뺄 수 있다고 하자. 이러한 조작을 유한번 반복하여 행렬의 모든 항이 0이 되게 할 수 있으면 이 배치를 좋은 배치라고 하자. 모든 좋은 배치의 수를 구하여라.
2012 유럽여학생수학올림피아드 2번문제
양의 정수 $n$이 주어져있다. 다음 조건을 만족하는 최대의 정수 $m$값을 $n$에 관한 식으로 구하여라.
임의의 서로 다른 두 행 $[a_1, a_2, \ldots , a_n]$, $[b_1, b_2, \ldots b_n]$이 \[\max(|a_1 −b_1|,|a_2 −b_2|,\ldots,|a_n −b_n|)=1\]을 만족하게 하는 $m$개의 행과 $n$개의 열을 가진 실수행렬이 존재한다.