양의 정수 $n$이 주어져 있다. 천칭 저울 하나와 무게가 각각 $2^0$, $2^1$, $\ldots$, $2^{n−1}$인 $n$개의 분동이 있다. $n$번의 시행을 통해 모든 분동을 저울 위에 올려 높는다. 첫번째 시행에서는 한 분동을 고른 후 왼쪽 접시에 올려 놓는다. 그 다음 시행부터는 각 시행마다 하나의 분동을 고른 후 왼쪽 접시에 놓을 지 오른쪽 접시에 놓을 지 선택한다. 오른쪽 접시의 무게가 왼쪽 접시의 무게보다 더 무겁지 않도록하며 $n$번의 시행을 하는 방법의 총 개수를 구하여라.
태그 보관물: 거듭제곱
2011 미국수학올림피아드 4번문제
다음을 증명하거나 반례를 찾으시오.
모든 양의 정수 $n\ge 2$에 대해, $2^{2^n}$을 $2^n-1$로 나눈 나머지는 $4$의 거듭제곱꼴이다.
2008 제21회 한국수학올림피아드 최종시험 4번문제
양의 정수 $m\ge 2$에 대하여 집합 $A_m$을 다음과 같이 정의하자.
\[ A_m:=\{ m+1,3m+2,5m+3,7m+4,9m+5,\ldots\}\]
(1) 임의의 $m\ge 2$에 대하여, 다음을 만족하는 양의 정수 $a$가 존재함을 보여라:
$1\le a\lt m$이고 $2^a$ 또는 $2^a+1$이 $A_m$에 포함된다.
(2) 어떤 $m\ge 2$에 대하여, $2^a\in A_m$과 $2^b+1\in A_m$을 만족하는 양의 정수 $a$와 $ b$가 존재한다고 하자. 이러한 $a$와 $b$의 최소값을 각각 $a_0$와 $b_0$라 할 때, $a_0$와 $b_0$의 관계식을 구하여라.
(2008년 3월 23일, 출처4시간 30분)