예각삼각형 $ABC$의 변 $BC$ 위에 점 $P\,(\ne B, C)$가 있다. 삼각형 $ABC$의 수심 $H$에서 선분 $AP$에 내린 수선의 발을 $D$라 하고, 삼각형 $ABD$와 $ACD$의 외접원을 각각 $\Gamma_1, \Gamma_2$라 하자. 점 $D$를 지나고 변 $BC$에 평행한 직선이 $\Gamma_1, \Gamma_2$와 만나는 점 중 $D$가 아닌 점을 각각 $X, Y$라 하고, $AB, AC$와 만나는 점을 각각 $E, F$라 하자. 두 직선 $XB$와 $YC$의 교점을 $Z$라 할 때, $BP=CP$일 필요충분조건은 $ZE=ZF$임을 보여라.
(2011년 3월 26일)

사각형 $ABCD$가 원 $O$에 내접하고, $\angle B$와 $\angle C$가 둔각이다. 직선 $AB$와 $CD$가 만나는 점을 $E$라 하자. 점 $E$에서 직선 $BC$에 내린 수선의 발을 $P$, 직선 $EP$와 $AD$의 교점을 $Q$, 점 $E$에서 직선 $AD$에 내린 수선의 발을 $R$, 직선 $ER$와 $BC$의 교점을 $S$라 하자. 선분 $QS$의 중점을 $K$라 할 때, 세 점 $E$, $K$, $O$가 한 직선 위에 있음을 보여라.
(2008년 3월 23일, 출처4시간 30분)

주어진 삼각형 $ABC$와 만나지 않는 직선 $l$이 있다. 점 $A, B, C$에서 직선 $l$에 내린 수선의 발을 각각 $L, M, N$이라고 하고, 점 $L, M, N$에서 각각 직선 $BC, CA, AB$에 내린 수선의 발을 각각 $X, Y, Z$라 한다. 세 직선 $LX, MY, NZ$가 한 점에서 만남을 증명하여라.

(1996년 4월 13일)

삼각형 $ABC$의 외접원의 중심을 $O$, 반지름의 크기를 $R$이라 한다.  삼각형이 놓인 평면위의 임의의 점 $P$를 잡고, $P$에서 세 변 또는 그 연장선 위에 내린 수선의 발을 각각 $A_1, B_1, C_1$ 이라 한다. $\overline{OP}=d$ 라 할 때 $\frac{(\triangle A_1B_1C_1)}{(\triangle ABC)}$의 값을 $R, d$ 의 식으로 나타내어라. 단, $(\triangle ABC)$는 $\triangle ABC$ 의 넓이이다.

(1995년 4월 16일)