예각삼각형 $ABC$아 있어 그 외심이 $O$로 주어져 있다. 세 점 $A,B,C$에서 대변에 내린 수선의 발을 각각 $D,E,F$라 하고, 변 $BC$의 중점을 $M$이라 하자. 직선 $AD$와 직선 $EF$의 교점을 $X$, 직선 $AO$와 직선 $BC$의 교점을 $Y$라 하고, 선분 $XY$의 중점을 $Z$라 한다. 이 때 세 점 $A,Z,M$이 한 직선 위에 있음을 보여라.
태그 보관물: 한 직선 위의 점
2013 국제수학올림피아드 4번문제
예각삼각형 $ABC$에 대하여, 점 $H$를 수심, 점$W$를 변 $BC$ 위의 한 점이라 하자. (단, $W\neq B,C$) 두 점 $M$, $N$을 각각 꼭지점 $B$, $C$에서 마주 보는 변에 내린 수선의 발이라고 하자. 삼각형 $BWN$의 외접원을 $\omega_1$이라 하고, $\omega_1$ 위의 점$X$를 선분 $WX$가 $\omega_1$의 지름이 되도록 하는 점이라 하자. 이와 비슷하게 삼각형 $CWM$의 외접원을 $\omega_2$라 하고, $\omega_2$ 위의 점 $Y$를 선분$WY$가 $\omega_2$의 지름이 되도록 하는 점이라 하자. 이때, 세 점 $X$, $Y$, $H$가 한 직선 위에 있음을 증명하여라.
(2013년 7월 24일 콜롬비아, 출처, 4시간 30분동안 3문제)
2013 이란 TST2 6번문제
원 $\omega$에 내접한 삼각형 $ABCD$가 있다. 삼각형 $ACD$와 $ABC$의 내접원의 중심을 각각 $I_1$, $I_2$, 반지름을 $r_1$, $r_2$라 하자. 이때 $r_1=r_2$이라 하자. 변 $AB$와 $AD$와 접하며 원 $\omega$와 접하는 원이 원 $\omega$와 만나는 점을 $T$라 하자. 원 $\omega$의 점 $A$에서의 접선과 점 $T$에서의 접선이 만나는 점을 $K$라 하자. 이때 $I_1$, $I_2$, $K$는 한 직선 위에 있음을 보여라.
(2013년, 출처)
2013 아시아태평양수학올림피아드 5번문제
원 $\omega$에 내접하는 삼각형 $ABCD$의 대각선 $AC$를 연장한 직선 위에 어떤 점 $P$가 있어서 직선 $PB$와 $PD$가 원 $\omega$에 접한다고 한다. 원 $\omega$의 점 $C$에서의 접선이 직선 $PD$와 만나는 점을 $Q$라 하고 직선 $AD$와 만나는 점을 $R$이라 하자. 직선 $AQ$와 원 $\omega$가 만나는 $A$ 아닌 점을 $E$라 하자. 이때 점 $B$, $E$, $R$이 한 직선 위에 있음을 보여라.
(2013년 3월 12일, 4시간, 출처)
2008 제21회 한국수학올림피아드 최종시험 5번문제
사각형 $ABCD$가 원 $O$에 내접하고, $\angle B$와 $\angle C$가 둔각이다. 직선 $AB$와 $CD$가 만나는 점을 $E$라 하자. 점 $E$에서 직선 $BC$에 내린 수선의 발을 $P$, 직선 $EP$와 $AD$의 교점을 $Q$, 점 $E$에서 직선 $AD$에 내린 수선의 발을 $R$, 직선 $ER$와 $BC$의 교점을 $S$라 하자. 선분 $QS$의 중점을 $K$라 할 때, 세 점 $E$, $K$, $O$가 한 직선 위에 있음을 보여라.
(2008년 3월 23일, 출처4시간 30분)