임의의 $n\times n$ 행렬 $A$에 대하여, \[ \det\begin{pmatrix} A&A^2\\A^3&A^4\end{pmatrix}=0\]임을 보여라. (단, $A$의 모든 성분은 실수이다.)
카테고리 보관물: 선형대수(대학)
2011 제30회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 6번문제
주어진 $n\times n$ 행렬 $A=(a_{ij})$가 $1\le i,j\le n$에 대하여 다음을 만족시킨다. \[ a_{ij}=\begin{cases} i^2-1, &\text{$i=j$일 때,}\\ij,&\text{$i\neq j$일 때.}\end{cases}\] 이 행렬 $A$의 모든 고유치(eigenvalue)들과 행렬식을 구하라.
2017 Simon Marais 수학경시대회 A3
양의 정수 $n$에 대하여 $n\times n$ 행렬 중 $(i,j)$항의 값이 $i+1$이 $j$의 배수이면 $1$, 아니면 $0$이 되는 행렬을 $M(n)$이라 하자.
이때 $M(n)$이 역행렬을 가질 필요충분조건이 $n+1$이 $1$이 아닌 완전제곱수를 약수로 갖지 않는 것임을 보여라.
2016 Vojtěch Jarník 국제수학경시대회 2분야 3번문제
정수 $n\ge 3$에 대해 다음 $n\times n$ 행렬의 모든 고유치(eigenvalue)를 중복을 포함하여 찾아라. \[ \begin{pmatrix}1&0&1&0&0&0&\cdots&\cdots&0&0\\0&2&0&1&0&0&\cdots&\cdots&0&0\\1&0&2&0&1&0&\cdots&\cdots&0&0\\0&1&0&2&0&1&\cdots&\cdots&0&0\\0&0&1&0&2&0&\cdots&\cdots&0&0\\0&0&0&1&0&2&\cdots&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&&\vdots&\vdots\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&0&0&0&\cdots&\cdots&2&0\\0&0&0&0&0&0&\cdots&\cdots&0&1\end{pmatrix}\]
2016 제77회 William Lowell Putnam 수학경시대회 B4
각 항이 서로 독립적으로 1/2의 확률로 0 또는 1인 $2n \times 2n$ 행렬 $A$가 있다. 이때, $\det(A-A^t)$의 기대값을 $n$에 관한 함수로 구하여라. 단, $A^t$는 $A$의 전치행렬(transpose)을 뜻한다.
2016 제35회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 3번문제
양의 정수 $m$, $n$에 대하여 크기가 $m\times n$인 실행렬 $A$가 주어져 있다.
(1) 행렬 $X=I_m+AA^T$와 $Y=I_n+A^TA$는 가역임을 보여라.
(2) $\operatorname{tr}(X^{-1})-\operatorname{tr}(Y^{-1})$의 값을 구하여라.
(단, $A^T$는 $A$의 전치행렬, 양의 정수 $\ell$에 대하여 $I_\ell$은 크기가 $\ell\times\ell$인 단위행렬)