양의 정수 $n$에 대하여 크기가 $n\times n$인 복소행렬 $A$가 주어져 있다. 다음 두 조건이 동치임을 보여라.
(i) $AB-BA=A$를 만족하는 크기가 $n\times n$인 복소행렬 $B$가 존재한다.
(ii) $A^k=O$을 만족하는 양의 정수 $k$가 존재한다 (단, $O$는 영행렬).
카테고리 보관물: 선형대수(대학)
2014 제75회 William Lowell Putnam 수학경시대회 A2
어떤 $n\times n$ 행렬 $A$의 $i$번째 행 $j$번째 열의 값이 \[\frac{1}{\min(i,j)}\]이라고 한다. 이때, $\det(A)$를 구하여라.
2014 제75회 William Lowell Putnam 수학경시대회 A6
양의 정수 $n$이 주어져 있다. 이때, 행렬 $M_iN_j$의 대각선 어딘가에 0인 값이 존재할 필요충분조건이 $i\neq j$임이 되도록 하는 $n\times n$ 실수행렬 $M_1,\ldots,M_k$와 $N_1,\ldots,N_k$이 존재할 $k$ 값 중 가장 큰 값을 구하여라.
2014 제75회 William Lowell Putnam 수학경시대회 B3
유리수의 $m\times n$ 행렬 $A$가 있다. 행렬 $A$의 항들의 절대값 중에 적어도 $m+n$개의 서로 다른 소수(prime number)가 있다고 하자. 이때 $A$의 rank는 $2$ 이상임을 보여라.
2015 제76회 William Lowell Putnam 수학경시대회 A6
양의 정수 $n$이 있다. 세 $n\times n$ 실수 행렬 $A$, $B$, $M$이 $AM=MB$를 만족하며 $A$, $B$의 특성다항식(characteristic polynomial)이 같다고 하자. 이때 $n\times n$인 실수 행렬 $X$에 대해 $\det (A-MX)=\det(B-XM)$임을 보여라.
2015 제76회 William Lowell Putnam 수학경시대회 B3
실수 행렬 \[M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\] 중 $a$, $b$, $c$, $d$가 이 순서대로 등차수열이 되는 행렬 전체의 집합을 $S$이라 하자. 이때 $S$에 속한 행렬 $M$ 중 어떤 수 $k\gt 1$에 대해 $M^k$도 $S$에 속하는 $M$을 모두 찾으시오.