2008년 3월 11일
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평면 위에 놓인 $\angle A<60^\circ$인 삼각형 $ABC$를 생각하자. 점 $X$와 $Y$는 각각 변 $AB$와 $AC$ 위의 점으로 $CA+AX=CB+BX$와 $BA+AY=BC+CY$를 만족시킨다. 점 $P$는 평면상의 점으로 직선 $PX$와 $PY$가 각각 변 $AB$와 $AC$에 수직이다. 이때, $\angle BPC<120^\circ$임을 증명하여라.
어떤 학급의 학생들이 학급 내에 동아리들을 만든다고 하자. 각 동아리는 정확히 3명의 멤버로 구성되고, 임의의 서로 다른 두 동아리는 많아야 1명의 멤버를 공유한다. 이 학급의 학생 수가 46명일 때, 다음의 조건을 만족시키는 이 학급의 학생 10명으로 이루어진 집합이 항상 존재함을 증명하여라.
[조건] 어떤 동아리도 이 집합에 온전히 포함되지 않는다.
어떤 삼각형 $ABC$의 외접원을 $\Gamma$라 하자. 두 꼭지점 $A$, $C$를 지나는 원이 변 $BC$와 $BA$를 만나는 점을 각각 $D$와 $E$라고 하자. 직선 $AD$와 $CE$가 원 $\Gamma$와 만나는 또 다른 점을 각각 $G$와 $H$라 하자. 점 $A$와 $C$에서 $\Gamma$에 접하는 접선이 직선 $DE$와 만나는 점을 각각 $L$과 $M$이라 하자. 이때, 두 직선 $LH$와 $MG$가 원 $\Gamma$에서 만남을 증명하여라.
아래와 같이 정의된 함수 $f:\mathbb N_0\to\mathbb N_0$를 생각하자. 단, $\mathbb N_0$는 음 아닌 정수 전체의 집합이다.
(i) $f(0)=0$; (ii) $f(2n)=2f(n)$; (iii) $f(2n+1)=n+2f(n)$ for all $n\ge 0$.
(a) 다음의 세 집합을 구하여라.
$L:=\{n\mid f(n)<f(n+1)\}$, $E:=\{n\mid f(n)=f(n+1)\}$, $G:=\{n\mid f(n)>f(n+1)\}$.
(b) 임의의 $k\ge 0$에 대하여 $a_k:=\max\{f(n): 0\le n\le 2^k\}$를 $k$에 대한 식으로 나타내어라.
정수 $a$, $b$, $c$가 조건 $0<a<c-1$, $1<b<c$를 만족시킨다고 하자. 임의의 $0\le k\le a$인 $k$에 대하여, $kb$를 $c$로 나눈 나머지를 $r_k$라 하자. (그러므로 $0\le r_k<c$.) 이때, 두 집합 $\{r_0,r_1,r_2,\ldots,r_a\}$와 $\{0,1,2,\ldots,a\}$가 같을 수 없음을 증명하여라.