(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)
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다음의 명제가 $n=3$ 과 $n=5$ 일 때 참임을 증명하고, 그 밖의 자연수 $n>2$ 에 대해서는 모두 거짓임을 보여라: 임의의 실수 $a_1, a_2, …, a_n$ 에 대해 \begin{align*} (a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-{}&a_n) + (a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n) + \cdots \\ &{}+ (a_n-a_1)(a_n-a_2)\cdots(a_n-a_{n-1}) \geq 0 \end{align*}
아홉 개의 꼭짓점 $A_1, A_2, …, A_9$로 된 볼록다면체 $P_1$을 생각하자. $A_1$이 $A_i$로 옮겨지도록 $P_1$을 평행이동한 다면체를 $P_i$라 하자$(i=2,3,…,9)$. $P_1, P_2, …, P_9$ 중에는 내부가 겹치는 두개가 있음을 증명하여라.
$2^k-3$ $(k=2,3,…)$ 꼴의 정수를 모두 모은 집합은 모든 원소가 둘씩 서로소인 어떤 무한집합을 부분집합으로 포함함을 증명하여라.
사면체 $ABCD$의 모든 면은 예각삼각형이다. 다음과 같이 정의되는 모든 다각형꼴의 경로 $XYZTX$를 생각하자: $X$는 $A$나 $B$와 다른 모서리 $AB$ 위의 점이며, 비슷하게 $Y$, $Z$, $T$는 각각 모서리 $BC$, $CD$, $DA$ 내부의 점이다. 다음을 증명하여라:
(a) $\angle DAB + \angle BCD \neq \angle CDA + \angle ABC$ 이면, 최소 길이의 경로는 존재하지 않는다.
(b) $\angle DAB + \angle BCD = \angle CDA + \angle ABC$ 이면, 최소 길이의 경로가 무한히 많이 존재하며, 그 길이는 $2AC\sin(\alpha/2)$ 이다. 단, $\alpha = \angle BAC + \angle CAD + \angle DAB$.
모든 자연수 $m$에 대해, 다음 조건을 만족하는 평면 위의 유한 개의 점들의 집합 $S$가 존재함을 보여라: $S$의 임의의 점 $A$에 대해 $A$로부터 단위 거리만큼 떨어진 $S$의 원소가 정확히 $m$개 존재한다.
정방행렬 $A=(a_{ij})$ $(i,j=1,2,…,n)$ 는 원소들이 음이 아닌 정수들이다. $a_{ij}=0$ 인 모든 $i,j$에 대해, $i$번째 행과 $j$번째 열의 모든 원소의 합이 $n$보다 크거나 같다고 하자. 이 행렬의 모든 원소의 합이 $n^2/2$보다 크거나 같음을 보여라.