(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)
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$P$는 삼각형 $ABC$ 내부의 점이다. 점 $P$에서 직선 $BC$, $CA$, $AB$에 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$, $F$라 한다. 다음의 값을 최소로 만드는 점 $P$를 모두 찾아라. \[ \frac{BC}{PD} + \frac{CA}{PE} + \frac{AB}{PF} \]
$1 \leq r \leq n$ 이라 할 때 집합 $\{1,2,…,n\}$에서 $r$개의 원소를 갖는 모든 부분집합을 생각하자. 이러한 각각의 집합들에는 가장 작은 원소가 있다. $F(n,r)$을 이러한 가장 작은 원소들의 산술평균이라 할 때, 다음을 증명하여라.\[ F(n,r) = \frac{n+1}{r+1} \]
$m,n \in \{1,2,…,1981\}$ 이고 $(n^2-mn-m^2)^2 = 1$ 인 정수 $m$, $n$에 대해, $m^2+n^2$ 의 최댓값을 구하여라.
(a) 다음 명제는 어떤 $n>2$ 에 대해 성립하는가?: $n$개의 연속한 자연수가 존재하여 그 중 가장 큰 원소가 나머지 $n-1$ 개의 원소들의 최소공배수의 약수이다.
(b) 위의 성질을 만족하는 집합이 정확히 하나 존재하는 $n>2$ 은 어떤 값들인가?
점 $O$를 공유하는 세 개의 합동인 원이 주어진 한 삼각형의 내부에 있다. 각각의 원이 이 삼각형의 두 변과 접한다고 할 때 이 삼각형의 내심과 외심, 그리고 점 $O$는 한 직선 위에 있음을 보여라.
모든 음이 아닌 정수 $x$, $y$에 대해 함수 $f(x,y)$가 다음을 만족한다.
(1) $f(0,y) = y+1$
(2) $f(x+1,0) = f(x,1)$
(3) $f(x+1,y+1) = f(x,f(x+1,y))$
$f(4,1981)$을 구하여라.