(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)
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함수 $f(n)$ 은 모든 자연수 $n$에 대해 정의되고 음이 아닌 정수값을 갖는다. 또한 모든 $m$, $n$에 대해 \[ f(m+n) – f(m) – f(n) = 0 \text{ 또는 } 1 \]이고 $f(2)=0$, $f(3)>0$, $f(9999)=3333$ 이다. $f(1982)$를 구하여라.
세 변이 $a_1$, $a_2$, $a_3$인 이등변이 아닌 삼각형 $A_1A_2A_3$이 주어져 있다($a_i$는 $A_i$와 마주보는 변). 각각의 $i=1,2,3$에 대해, $a_i$의 중점을 $M_i$라 하고, 내접원이 $a_i$와 접하는 점을 $T_i$라 하자. 또, 각 $A_i$의 이등분선에 대해 $T_i$를 대칭시킨 점을 $S_i$라 하자. 세 직선 $M_1S_1$, $M_2S_2$, $M_3S_3$이 한 점에서 만남을 증명하여라.
양의 실수들의 무한수열 $\{x_n\}$이 다음 조건을 만족한다: \[ x_0 = 1, \qquad\text{모든 $i \geq 0$ 에 대해, } x_{i+1} \leq x_i \]
(a) 이런 모든 수열에 대해 다음을 만족하는 $n \geq 1$ 이 있음을 증명하여라. \[ \frac{x_0^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} + \cdots + \frac{x_{n-1}^2}{x_n} \geq 3.999 \]
(b) 다음 식이 모든 $n$에 대해 성립하는 수열을 하나 찾아라.\[ \frac{x_0^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} + \cdots + \frac{x_{n-1}^2}{x_n} < 4 \]
$n$은 자연수이고, 다음 방정식이 정수해 $(x,y)$를 갖는다. \[ x^3 – 3xy^2 + y^3 = n \] 그럼 이 방정식은 적어도 세 개의 정수해를 가짐을 증명하여라. 그리고 $n=2891$ 일 때 이 방정식은 정수해를 가지지 않음을 보여라.
정육각형 $ABCDEF$에서 $M$과 $N$은 각각 선분 $AC$와 $CE$를 다음과 같이 내분하는 점이다. \[ \frac{AM}{AC} = \frac{CN}{CE} = r \] $B$, $M$, $N$이 한 직선 위에 있을 때, $r$을 구하여라.
$S$는 한 변의 길이가 $100$인 정사각형이며, $L$은 자기 자신과 다시 만나지 않는 $S$ 안의 경로이다. $L$은 $n$개의 선분 $A_0A_1, A_1A_2, …, A_{n-1}A_n$ ($A_0 \neq A_n$) 으로 구성되어 있다. $S$의 둘레에 있는 모든 점 $P$에 대해, $P$까지의 거리가 $1/2$보다 크지 않은 $L$ 위의 점이 있다고 하자. 직선 거리로는 1보다 멀지 않고 $L$을 따라 움직이는 거리로는 198보다 가깝지 않은 $L$ 위의 두 점 $X$, $Y$가 존재함을 보여라.