(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)

중국 베이징

한국대표팀: 종합 32위

• 단장: 윤옥경 (서울대)
• 부단장: 김하진 (아주대), 김성기 (서울대)
• 대표학생: 고봉균 (오현고3), 김태진 (서울과고2, 동메달), 변명광 (학성고3, 은메달), 윤아람 (서울과고2), 이민수 (영락고3), 이승균 (영동고2)

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한 원의 두 현 $AB, CD$가 원의 내부의 점 $E$에서 만나고 있다. $M$을 선분 $EB$위의 양끝점이 아닌 점이라 하자. 세점 $D, E, M$을 지나는 원에 $E$에서 그은 접선이 직선 $BC, AC$와 만나는 점을 각각 $F, G$라 한다.
$\dfrac{AM}{AB}=t$라 할 때 $\dfrac{EG}{EF}$를 $t$의 식으로 나타내어라.

$n$은 $n\geq3$인 정수이다. 한 원둘레위의 서로 다른 $2n-1$개의 점으로 이루어진 집합을 $E$라 하자. $E$의 점 중에서 $k$개의 점을 골라 검은색으로 칠하는데, 이 점들 중 다음 조건을 만족하는 두 점이 존재하면, `칠이 잘 되었다’라고 한다.

검은 두 점을 원 위에서 지우면 두 개의 호가 생긴다. 이 중 $E$의 원소 중 정확히 $n$개를 포함하는 것이 존재한다.

$k$개의 점을 어떻게 선택하든, 항상 색칠이 잘된 것이 되기 위한 $k$의 최솟값을 구하여라.

$\dfrac{2^n+1}{n^2}$이 정수가 되는 $1$보다 큰 모든 정수 $n$을 구하여라.

$\mathbb Q^+$를 양의 유리수 전체의 집합이라 하자. 모든 양의 유리수 $x, y$에 대하여
\[ f(xf(y))=\dfrac{f(x)}y\]를 만족시키는 함수 $f:\mathbb Q^+\rightarrow \mathbb Q^+$를 만들어라.

처음에 $1$보다 큰 정수 $n_0$이 주어져 있고, 두 경기자 $A, B$가 다음
규칙에 따라서 정수 $n_1, n_2, n_3,\cdots$을 번갈아 뽑고 있다.
$n_{2k}$를 알았을 때, $A$는 $n_{2k} \le n_{2k+1} \le n^2_{2k}$인 정수 $n_{2k+1}$을 뽑고, $n_{2k+1}$을 알았을 때, $B$는 $\dfrac{n_{2k+1}}{n_{2k+2}}$이 소수의 자연수 거듭제곱이 되는 정수 $n_{2k+2}$를 뽑는다.
$A$는 $1990$을 뽑으면 이기고, $B$는 $1$을 뽑으면 이긴다고 한다.
다음 각각을 만족시키는 $n_0$을 모두 구하고 그 이유를 설명하여라.
(a) $A$가 이길 수 있는 $n_0$,
(b) $B$가 이길 수 있는 $n_0$,
(c) $A$도 $B$도 이길 수 없는 $n_0$.

다음 두 성질을 가지는 볼록 $1990$각형이 존재함을 증명하여라.
(a) 모든 내각의 크기는 같다.
(b) 변의 길이는 $1^2, 2^2, 3^2, …, 1989^2, 1990^2$을 적당한 순서로
나열한 것이다.