인도 뭄바이

한국대표팀: 종합 8위

• 단장: 조승제 (서울대)
• 부단장: 전길웅 (충남대), 김명환 (서울대), 황석근 (경북대), 진교택 (KAIST)
• 대표학생: 공유식 (영동고1, 금메달), 신석우 (서울과고3, 금메달), 임정근 (부산과고3, 은메달), 임성진 (서울과고2, 은메달), 윤재문 (대전과고2, 은메달), 신종화 (서울과고2)

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$\overline{AB}=20$, $\overline{BC}=12$인 직사각형 $ABCD$가 $20\times12$개의 합동인 정사각형으로 나누어져 있고, 자연수 $r$이 주어져 있다. 한 정사각형에 놓인 동전을 다른 정사각형으로 이동시킬 수 있는 것은 그 두 정사각형의 중심사이의 거리가 $\sqrt{r}$일 때에만 가능하다고 한다. $A$를 꼭짓점으로 가지고 있는 정사각형에 놓인 동전을 $B$를 꼭짓점으로 가지고 있는 정사각형으로 이동시킬 수 있는 경로를 찾고자 한다.
(a) $r$이 2 또는 3의 배수일 때는 그러한 경로가 존재하지 않음을 증명하라.
(b) $r=73$일 때, 그러한 경로가 존재함을 증명하여라.
(c) $r=97$일 때, 그러한 경로가 존재하는지 존재하지 않는지를 밝혀라.

삼각형 $ABC$의 내부에 점 $P$를 $\angle{APB}-\angle{ACB}=\angle{APC}-\angle{ABC}$가 되도록 택하자. 삼각형 $APB, APC$의 내심을 각각 $D, E$라 할 때, 세 직선 $AP, BD, CE$는 한 점에서 만남을 증명하여라.

음이 아닌 정수 전체의 집합을 $S=\{0, 1, 2, 3, \cdots\}$이라 하자. 다음을 만족시키는 $S$에서 $S$에로의 함수 $f$를 모두 구하라.\[\text{$S$의 임의의 두 원소 $m, n$에 대하여 } f(m+f(n))=f(f(m))+f(n)\]

자연수 $a$와 $b$에 대하여 $15a+16b, 16a-15b$가 모두 완전제곱수가 될 때, 이 두 완전제곱수 중 작은 완전제곱수가 취할 수 있는 최솟값을 구하여라.

볼록 육각형 $ABCDEF$에서 변 $AB$와 변 $DE$가 평행하고, 변 $BC$와 변 $FE$가 평행하며 변 $CD$와 변 $AF$가 평행하다고 한다. 삼각형 $FAB$, $BCD$, $DEF$의 외접원의 반지름의 길이를 각각 $R_A, R_C, R_E$라 하고, 육각형의 둘레의 길이를 $p$라 하자. 이 때,\[R_A+R_C+R_E\geq\dfrac p2\]임을 증명하라.

$n, p, q$를 $n>p+q$인 자연수라 하고, $x_0, x_1, …, x_n$을 다음 조건을 만족시키는 정수라 하자.
(a) $x_0=x_n=0$
(b) $1\leq i\leq n$인 각 정수 $i$에 대하여, $x_i-x_{i-1}=p$이거나 $x_i-x_{i-1}=-q$.
이 때, $i<j$이고 $(i, j)\neq (0, n)$이며 $x_i=x_j$인 첨자의 순서쌍 $(i, j)$가 존재함을 증명하라.