(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)
대만 타이페이
한국대표팀: 12위
- 단장: 김명환 (서울대)
- 부단장: 고기형 (KAIST), 곽민규 (전남대), 정순영 (서강대)
- 대표학생: 고영일 (서울과고3, 동메달), 구제린 (서울과고2, 동메달), 박세용 (경기과고2, 금메달), 박현정 (경남과고3, 은메달), 이준성 (광주과고2, 은메달), 한린 (서울과고2, 금메달)
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볼록사각형 ABCD에서 대각선 AC, BD는 서로 수직이고, 마주 보는 두 변 AB, DC가 평행하지 않다고 하자. 변 AB와 DC의 수직이등분선이 만나는 점 P가 사각형 ABCD의 내부에 있다고 할 때, 사각형 ABCD가 원에 내접하기 위한 필요충분조건은 삼각형 ABP와 CDP의 넓이가 같다는 것임을 보여라.
어떤 대회에 $a$명의 선수와 $b$명의 심판이 있다. 단, $b$는 3 이상의 홀수이다. 각 심판은 각 선수에게 `합격’ 또는 `불합격’ 판정을 내린다. 어떤 두 심판의 판정도 많아야 $k$명의 선수에 대하여 일치한다고 할 때 \[ \frac ka \geq \frac{b-1}{2b}\]이 성립함을 보여라.
임의의 자연수 $n$에 대하여, $n$의 양의 약수(1과 $n$도 포함)의 개수를 $d(n)$으로 나타내기로 하자. 이 때, 다음을 만족시키는 자연수 $k$를 모두 구하여라: 적당한 $n$에 대하여 \[\dfrac{d(n^2)}{d(n)} = k\]이 성립한다.
$ab^2 + b + 7$이 $a^2b+a+b$의 약수가 되는 자연수의 쌍 $(a,b)$를 모두 구하여라.
삼각형 $ABC$의 내접원의 중심을 $I$라고 하고, 이 내접원이 세 변 $BC$, $CA$, $AB$에 접하는 점을 각각 $K$, $L$, $M$이라고 하자. 점 $B$를 지나고 직선 $MK$에 평행한 직선이 두 직선 $LM$, $LK$와 만나는 점을 각각 $R$, $S$라고 할 때, $\angle RIS$가 예각임을 보여라.
자연수 전체의 집합 $\mathbb N$에서 자기 자신으로의 함수로서 모든 $s, t \in \mathbb N$에 대하여 \[f(t^2f(s)) = s(f(t))^2\]을 만족시키는 모든 함수 $f$를 생각하자. 이 때, $f(1998)$이 취할 수 있는 가장 작은 값을 구하여라.