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다음 두 식을 동시에 만족하는 모든 $x$, $y$를 구하여라.
\[ \sqrt{\sin^2 x +\frac{1}{\sin^2 x}} + \sqrt{\cos^2 y +\frac{1}{\cos^2 y}} =\sqrt{\frac{20y}{x+y}}\]\[ \sqrt{\sin^2 y +\frac{1}{\sin^2 y}} + \sqrt{\cos^2 x +\frac{1}{\cos^2 x}} =\sqrt{\frac{20x}{x+y}}\]
(5점, 2013년 1월 11일, 총 180분)

수열 $\{a_n\}$을 다음과 같이 정의하자: $a_1=1$이고 양의 정수 $n\ge 1$에 대해 $a_{n+1}=3-\frac{a_n+2}{2^{a_n}}$이다.
이때 $a_n$이 $n$이 커질 때 수렴함을 보이고 그 극한값을 구하라.
(5점, 2013년 1월 11일, 총 180분)

이등변삼각형이 아닌 삼각형 $ABC$가 있다. 중심이 $I$인 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC$, $CA$, $AB$와 만나는 점을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. 점 $E$를 지나며 직선 $BI$와 수직으로 만나는 직선이 삼각형 $ABC$의 내접원과 만나는 점을 $K$라 하자. 점 $F$를 지나며 직선 $CI$와 수직으로 만나는 직선이 삼각형 $ABC$의 내접원과 만나는 점을 $L$이라 하자. 선분 $KL$의 중점을 $J$라 하자.
(1) 점 $D$, $I$, $J$는 한 직선 위에 있음을 보여라.
(2) 점 $B$와 $C$를 고정하고 점 $A$를 $\frac{AB}{AC}$가 일정한 값 $k$가 되게 움직인다고 하자. 선분 $IE$와 $IF$가 삼각형 $ABC$의 내접원과 만나는 점을 각각 $M$, $N$ ($M\neq E$, $N\neq F$)이라 하자. 직선 $MN$이 직선 $IB$, 직선 $IC$와 만나는 점을 각각 $P$, $Q$라 하자. 이때 선분 $PQ$의 수직이등분선은 항상 일정한 점을 지나는 것을 증명하라.
(5점, 2013년 1월 11일, 총 180분)

정수가 적혀 있는 $n$장의 카드가 일렬로 나열되어 있을때 다음과 같은 작업을 할 수 있다고 하자: 인접한 두 카드마다 그 사이에 새로운 카드를 넣고 그 두 카드 수의 합을 적는다. (즉 총 $n-1$개의 새 카드를 추가한다.)
처음 조건이 아래와 같을 때, 위 작업을 2013번 하면 2013이 적힌 카드가 총 몇 개인지 세어보아라.
(1) 처음에 두 장의 카드가 있고 첫번째 카드는 1, 두번째 카드에는 1000이 적혀 있다.
(2) 처음에 총 1000장의 카드가 있고 $1\le i\le 1000$에 대해 $i$번째 카드에는 숫자 $i$가 적혀 있다.
(5점, 2013년 1월 11일, 총 180분)

실수 전체의 집합을 $\mathbb{R}$이라 할때, 다음을 만족하는 함수 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$을 모두 구하여라:
$f(0)=0$, $f(1)=2013$, 모든 $x,y\in \mathbb{R}$에 대해 $(x-y)(f((f(x))^2)-f((f(y))^2)=(f(x)-f(y))((f(x))^2-(f(y))^2)$이다.
(7점, 2013년 1월 12일, 총 180분)

예각삼각형 $ABC$의 외접원$O$에서 $A$를 포함하지 않는 호$BC$ 위에 점$D$를 잡자. 삼각형 $ABC$의 수심$H$를 지나는 어떤 직선$\ell$이 삼각형 $ABH$의 외접원, 삼각형 $ACH$의 외접원과 만나는 점을 각각 $M$, $N$이라 하자.
(a) 삼각형 $AMN$의 면적이 최대가 되는 직선 $\ell$을 찾아라.
(b) 점 $M$을 지나고 직선 $DB$와 수직인 직선$\ell_1$과 점 $N$을 지나고 직선 $DC$와 수직인 직선 $\ell_2$가 만나는 점을 $P$라 하자. 이때 $P$는 점 $D$가 이동할 때, 고정된 원 위에 있음을 보여라.
(7점, 2013년 1월 12일, 총 180분)

다음을 만족하는 $(a,b,c,a’,b’,c’)$ 순서쌍을 모두 구하여라.
\[\begin{cases} ab+a’b’&\equiv 1\pmod {15}\\ ac+a’c’&\equiv 1\pmod {15}\\bc+b’c’&\equiv 1\pmod {15}\end{cases}\]이고 $a,b,c,a’,b’,c’\in\{0,1,\ldots,14\}$이다.
(6점, 2013년 1월 12일, 총 180분)