이항계수 $\binom{n}{m-2n}$이 $m/3\le n\le m/2$인 모든 정수 $n$의 배수가 되게 하는 정수 $m\ge 2$을 모두 구하여라.
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2013 중국 TST3 4번문제
소수 $p$와 양의 정수 $a$, $k$가 $p^a \lt k \lt 2p^a$를 만족한다고 하자. 이때 $n\lt p^{2a}$이고 $\binom{k}{n}$, $n$, $k$를 각각 $p^a$로 나눈 나머지가 모두 같게 하는 양의 정수 $n$이 존재함을 증명하라.
(2013년 3월 25일, 출처, 4시간 30분)
2013 중국 TST2 6번문제
$1$보다 큰 양의 정수 $n$과 음 아닌 실수 $a_0,a_1,\ldots,a_n$이 있다. 정수 $k=0,1,\ldots,n$에 대해 $S_k=\sum_{i=1}^k \binom{k}{i} a_i$라 할 때 다음 부등식을 증명하라.
\[ \frac1n \sum_{k=0}^{n-1} S_k^2 -\frac1{n^2}\left( \sum_{k=0}^n S_k\right)^2 \le \frac4{45} (S_n-S_0)^2.\]
(2013년 3월 19일, 출처, 4시간 30분)
2013 중국수학올림피아드 5번문제
임의의 양의 정수 $n$과 $0\le i\le n$에 대해 $c(n,i)\equiv \binom{n}{i} \pmod 2$이며 $c(n,i)\in \{0,1\}$이 되게 정의하자. (단, $\binom{n}{i}$는 ${}_n C_i$와 같다.) 그리고 $f(n,q)=\sum_{i=0}^n c(n,i)q^i$라 정의하자.
양의 정수 $m$, $n$, $q$에 대해 만일 $q+1$이 $2$의 거듭제곱꼴인 수가 아니고 $f(n,q)$가 $f(m,q)$의 배수라면, 임의의 양의 정수 $r$에 대해 $f(n,r)$은 $f(m,r)$의 배수임을 보여라.
(둘째날)
2012 이란 TST 시험1 첫째날 1번문제
다음 성질을 만족하는 모든 정수 $n\ge 2$를 모두 구하시오.
$0\le i,j\le n$인 모든 정수 $i$, $j$에 대해 $i+j$와 $\binom{n}{i}+\binom{n}{j}$의 홀짝이 같다.
2012 중국여자수학올림피아드 8번문제
$\displaystyle \binom{2012}{k}=\frac{2012!}{k! \, (2012-k)!}$이 $2012$의 배수가 되는 정수 $k\in \{0,1,2,\ldots,2012\}$의 개수를 구하여라.
(2012년 8월 11일, 광저우, 둘째날 4시간동안 5~8번 문제)