삼각형 $ABC$의 꼭지점 $B$, $C$에 마주 보는 방심을 각각 $B_1$, $C_1$이라 하자. 직선 $B_1C_1$이 삼각형 $ABC$의 외접원과 $D$($\neq A$)에서 만난다고 하자. $B_1$에서 $CA$에 내린 수선과 $C_1$에서 $AB$에 내린 수선의 교점을 $E$라 하자. 삼각형 $ADE$의 외접원 $\omega$의 점 $D$에서의 접선과 직선 $AE$가 점 $F$에서 만난다고 하자. $D$에서 $AE$에 내린 수선의 발을 $G$, 이 수선이 $\omega$와 만나는 점을 $H$($\neq D$)라 하자. 삼각형 $HGF$의 외접원과 $\omega$의 교점을 $I$($\neq H$)라 하고, $D$에서 직선 $AH$에 내린 수선의 발을 $J$라 할 때, $AI$가 선분 $DJ$의 중점을 지남을 보여라.
(2013년 3월 24일, 4시간 30분)

예각삼각형 $ABC$에 대하여 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. $D$, $E$는 각각 변 $AB$, $AC$의 내부에 있는 점으로서, $D$와 $E$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 각각 $F$와 $G$라 할 때, 두 선분 $DG$와 $EF$의 교점이 선분 $AH$ 위에 있다 하자. 점 $E$에서 직선 $DH$에 내린 수선의 발을 $P$라 할 때, $\angle APE=\angle CPE$임을 보여라.

(2012년 3월 25일 오전, 4시간 30분)

$\overline{BC}=a$, $\overline{CA}=b$, $\overline{AB}=c$인 $\triangle ABC$의 내부의 한 점 $P$에서 각 변 $BC, CA, AB$에 내린 수선의 발을 각각 $A’, B’, C’$이라 하고 $\overline{B’C’}=a’$, $\overline{C’A’}=b’$, $\overline{A’B’}=c’$이라 할 때 \[\frac{a’}a + \frac{b’}b+\frac{c’}c < 2\]이 성립함을 증명하여라.

(1988년 4월 30일)