점 $R$에서 외접하는 두 원 $\Gamma_1$, $\Gamma_2$가 있다. 점 $O_1$과 점 $O_2$를 각각 원 $\Gamma_1$, $\Gamma_2$의 중심이라 하자. 원 $\Gamma_2$과 점 $P$에서 접하고 $O_1$을 지나는 직선을 $\ell_1$이라 하자. 마찬가지로 원 $\Gamma_1$과 점$Q$에서 접하고 $O_2$를 지나는 직선을 $\ell_2$라 하자. 직선 $\ell_1$과 $\ell_2$의 교점을 $K$라 하자. 만일 $KP=KQ$라면 삼각형 $PQR$이 정삼각형임을 증명하라.
(2013년 2월 3일, 출처)
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2006 제19회 한국수학올림피아드 최종시험 5번문제
볼록육각형 $ABCDEF$에 대하여 세 삼각형 $ABC$, $CDE$, $EFA$가 닮은꼴이다. 즉, \[\angle BAC=\angle DCE=\angle FEA\]\[\angle BCA=\angle DEC=\angle FAE\]이다. 이 세 삼각형이 어떤 삼각형이어야 삼각형 $ACD$가 정삼각형일 필요충분조건이 삼각형 $BDF$가 정삼각형인 것이 되는가?
(2006년 3월 26일, 4시간 30분, 3문제, 출처)
1995 제8회 한국수학올림피아드 최종시험 3번문제
한변의 길이가 1인 정삼각형 $ABC$의 변 $BC$위에 임의의 점 $D$를 잡고 삼각형 $ABD, ADC$의 내접원의 반지름을 각각 $r_1, r_2$라 한다. $\overline{BD}=p$ 라 할때 $r_1r_2$를 $p$의 식으로 나타내고 $r_1r_2$의 최대값을 구하여라.
(1995년 4월 15일)