$BC=a$, $CA=b$, $AB=c$인 삼각형 $ABC$의 변 $BC$의 중점을 $D$, 각 $A$의 이등분선과 변 $BC$의 교점을 $E$라 한다. 세 점 $A$, $D$, $E$를 지나는 원이 변 $CA$, $AB$와 만나는 점을 각각 $F$, $G$라 하고 변 $AB$ 위에 $BG=GH$ 즉 $BH=2BG$되게 점 $H$를 잡는다. 이때 삼각형 $EBH$와 삼각형 $ABC$는 닮음꼴임을 증명하고 두 삼각형의 넓이의 비 $\frac{(\triangle EBH)}{(\triangle ABC)}$를 구하여라. 단 $(\triangle ABC)$는 삼각형 $ABC$의 넓이를 뜻한다.
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2013 미국 TSTST 1번문제
삼각형 $ABC$의 외접원의 각 호 $BC$, $CA$, $AB$의 중점을 $D$, $E$, $F$라 하자. 점 $A$에서 직선 $DB$, $DC$로 내린 수선의 발들을 지나는 직선을 $\ell_a$라 하자. 점 $D$에서 직선 $AB$와 $AC$로 내린 수선의 발들을 지나는 직선을 $m_a$라 하자. 직선 $\ell_a$와 $m_a$의 교점을 $A_1$이라 하자. 마찬가지로 $B_1$과 $C_1$을 정의하자. 이때 삼각형 $DEF$와 $A_1B_1C_1$가 닮음을 보여라.
(2013년 6월 21일, 4시간 반동안 3문제, 출처)
2006 제19회 한국수학올림피아드 최종시험 5번문제
볼록육각형 $ABCDEF$에 대하여 세 삼각형 $ABC$, $CDE$, $EFA$가 닮은꼴이다. 즉, \[\angle BAC=\angle DCE=\angle FEA\]\[\angle BCA=\angle DEC=\angle FAE\]이다. 이 세 삼각형이 어떤 삼각형이어야 삼각형 $ACD$가 정삼각형일 필요충분조건이 삼각형 $BDF$가 정삼각형인 것이 되는가?
(2006년 3월 26일, 4시간 30분, 3문제, 출처)
1999 제12회 한국수학올림피아드 최종시험 1번문제
두 개의 삼각형 $ABC$와 $A’B’C’$의 외접원과 내접원의 반지름의 길이를 각각 $R$, $r$과 $R’$, $r’$이라고 할 때, 각 $C$와 $C’$이 같고 $Rr’=R’r$이면 두 삼각형이 서로 닮은 꼴임을 보여라.
(1999년 4월 17일, 출처4시간 30분)