양의 정수의 집합 위에서 정의된 일대일함수 중에 다음 조건을 만족하는 함수를 모두 구하여라.
양의 정수의 유한 집합 $S$가 $\sum_{s\in S}\frac1s$가 정수라면 $\sum_{s\in S} \frac1{f(s)}$ 역시 정수이다.
(출처, 풀이)
태그 보관물: 정수
2012 중국수학올림피아드 3번문제
임의의 $M>2$에 대해 다음 두 성질을 만족하는 양의 정수의 수열 $a_1<a_2<\cdots$이 존재함을 보여라.
(i) 모든 양의 정수 $i$에 대해 $a_i>M^i$이다
(ii) 정수 $n$에 대해 $n=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_m b_m$이 성립하도록 어떤 양의 정수 $m$과 $b_1,b_2,\ldots,b_m\in \{-1,1\}$을 잡을 수 있을 필요충분조건은 $n$이 $0$이 아니라는 것이다.
2011 캐나다수학올림피아드 5번문제
양의 정수 $d$가 주어져있다. 모든 정수 $S$에 대해 어떤 양의 정수 $n$과 $1$ 과 $-1$로만 구성된 수열 $\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots,\epsilon_{n’}$이 있어서 $S=\epsilon_1 (1+d)^2+ \epsilon_2(1+2d)^2+ \epsilon (1+3d)^2 + \cdots + \epsilon_n (1+nd)^2$이 됨을 증명하라.
(2011년 3월 23일)
2011 캐나다수학올림피아드 4번문제
다음 성질을 만족하는 양의 정수 $N$이 존재함을 증명하여라: 모든 $N$보다 큰 정수 $a$에 대해, $a$의 십진법 표현에서 어떤 연속한 일부분은 $2011$의 배수이다. (예를 들어, $a=153204$라면 15, 532, 0은 모두 $a$의 연속한 일부분이다. 이때 0은 2011의 배수이다.)
(2011년 3월 23일)
2012 유럽여학생수학올림피아드 4번문제
정수들의 집합 $A$에서 임의의 원소 $a$가 어떤 두 (같을 수도 있는) 원소 $b, c\in A$의 합으로 표현될 때, 이 집합 $A$를 꽉찬 집합이라고 하자. 정수들의 집합 $A$의 유한한 공집합 아닌 부분집합의 원소의 합으로 표현할 수 없는 수가 $0$뿐일 때, 이 집합 $A$를 $0$만 못 만드는 집합이라 하자.
$0$만 못 만드는 꽉찬 정수들의 집합이 존재하는가?
(2012년 4월 12일, 첫째날, 4시간 30분동안 4문제)